Задумали трёхзначное число, которое делится на 14 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число будет $$100a + 10b + c$$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет $$100c + 10b + a$$. По условию, $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693$$. Упрощая, получаем $$99a - 99c = 693$$, или $$a - c = 7$$. Так как $$a$$ и $$c$$ - цифры, и $$c eq 0$$, возможные пары $$(a, c)$$ это $$(7, 0)$$ (не подходит, так как $$c eq 0$$), $$(8, 1)$$, $$(9, 2)$$.
Если $$(a, c) = (8, 1)$$, то число $$800 + 10b + 1$$. Число, записанное в обратном порядке, $$100 + 10b + 8$$. Разность $$800 + 10b + 1 - (100 + 10b + 8) = 801 - 108 = 693$$. Проверяем делимость на 14: $$801$$ не делится на 14. $$811$$ не делится на 14. $$821$$ не делится на 14. $$831$$ не делится на 14. $$841$$ не делится на 14. $$851$$ не делится на 14. $$861 = 14 imes 61.5$$ не делится на 14. $$871$$ не делится на 14. $$881$$ не делится на 14. $$891$$ не делится на 14.
Если $$(a, c) = (9, 2)$$, то число $$900 + 10b + 2$$. Число, записанное в обратном порядке, $$200 + 10b + 9$$. Разность $$900 + 10b + 2 - (200 + 10b + 9) = 902 - 209 = 693$$. Проверяем делимость на 14. Число должно оканчиваться на 2, 4, 6, 8. Возможные числа: $$902, 912, 922, 932, 942, 952, 962, 972, 982, 992$$. Из них на 14 делятся: $$912 = 14 imes 65.14$$ (не делится), $$952 = 14 imes 68$$.
Ответ: 952.