Задумали двузначное число, которое делится на 7. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 13. Какое число задумали?

Пусть задуманное двузначное число равно $$x$$. Тогда четырёхзначное число можно представить как $$100x + x = 101x$$.
По условию, $$x$$ делится на 7, то есть $$x = 7k$$ для некоторого целого $$k$$.
Также, $$101x$$ делится на 13. Подставляя $$x=7k$$, получаем $$101 imes 7k = 707k$$.
Проверим делимость $$707k$$ на 13. $$707 = 13 imes 54 + 5$$. Значит, $$707k$$ делится на 13, если $$5k$$ делится на 13. Так как 5 и 13 взаимно просты, $$k$$ должно делиться на 13. Пусть $$k = 13m$$.
Тогда $$x = 7k = 7 imes 13m = 91m$$.
Так как $$x$$ — двузначное число, $$m$$ может быть только 1. Следовательно, $$x = 91$$.
Проверка: 91 делится на 7 ($$91 = 7 imes 13$$). Четырёхзначное число 9191. $$9191 = 13 imes 707$$.
Ответ: 91