3. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получилось 3400. Какое число задумали? Запишите решение и ответ.

Решим данную задачу.

Пусть задуманное число равно $$10a+b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры этого числа. По условию, когда это число умножили на произведение его цифр, получилось 3400. Значит, можем составить уравнение:

$$ (10a + b) \cdot a \cdot b = 3400 $$

Разложим 3400 на простые множители: $$3400 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17 = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 17$$

Из уравнения видно, что произведение $$a \cdot b$$ должно быть делителем числа 3400. Также известно, что $$a$$ и $$b$$ - это цифры, т.е. целые числа от 1 до 9.

Предположим, что $$ a = 8 $$. Тогда:

$$ (80 + b) \cdot 8 \cdot b = 3400 $$ $$ (80 + b) \cdot b = \frac{3400}{8} = 425 $$

Проверим делители числа 425, близкие к 10: $$425 = 17 \cdot 25$$. Число 17 подходит. Подставим $$ b = 5 $$. Тогда:

$$ (80 + 5) \cdot 5 = 425 $$ $$ 85 \cdot 5 = 425 $$ $$ 425 = 425 $$

Получили верное равенство, значит, задуманное число 85.

Проверка:

$$ 85 \cdot 8 \cdot 5 = 85 \cdot 40 = 3400 $$

Следовательно, мы нашли правильное число.

Ответ: 85