Задумали чётное трёхзначное число, которое больше 700, делится на 23 и последняя цифра которого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 396. Какое число было задумано?

Решение:

Пусть задуманное число — \( \overline{abc} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — цифры. По условию, число трёхзначное, чётное, больше 700, делится на 23, и \( c \neq 0 \).

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — \( \overline{cba} \).

Из условия следует:

1. \( \overline{abc} > 700 \)
2. \( \overline{abc} \) — чётное, значит, \( c \in \{2, 4, 6, 8 \} \) (так как \( c \neq 0 \)).
3. \( \overline{abc} \) делится на 23.
4. \( \overline{abc} - \overline{cba} = 396 \)

Распишем третье условие:

\( 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 396 \)

\( 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 396 \)

\( 99a - 99c = 396 \)

\( 99(a - c) = 396 \)

\( a - c = \frac{396}{99} \)

\( a - c = 4 \)

Из этого следует, что \( a = c + 4 \).

Теперь учтём остальные условия:

• \( a \) — первая цифра трёхзначного числа, значит, \( a \neq 0 \).
• \( c \in \{2, 4, 6, 8 \} \).
• \( a = c + 4 \)
• \( \overline{abc} > 700 \) (это значит, что \( a \ge 7 \)).

Подставим возможные значения \( c \) и проверим условия:

• Если \( c = 2 \), то \( a = 2 + 4 = 6 \). Это противоречит условию \( a \ge 7 \).
• Если \( c = 4 \), то \( a = 4 + 4 = 8 \). Это удовлетворяет условию \( a \ge 7 \).
• Если \( c = 6 \), то \( a = 6 + 4 = 10 \). Это невозможно, так как \( a \) — цифра.
• Если \( c = 8 \), то \( a = 8 + 4 = 12 \). Это невозможно.

Таким образом, единственная возможная пара цифр — \( a = 8 \) и \( c = 4 \). Теперь найдём \( b \).

Мы знаем, что число \( \overline{abc} \) делится на 23. Полученное число — \( \overline{8b4} \).

Проверим числа вида \( 8b4 \), которые делятся на 23:

• \( 804 / 23 ≈ 34.9 \)
• \( 814 / 23 ≈ 35.4 \)
• \( 824 / 23 ≈ 35.8 \)
• \( 834 / 23 = 36.26 \)
• \( 844 / 23 = 36.69 \)
• \( 854 / 23 = 37.13 \)
• \( 864 / 23 = 37.56 \)
• \( 874 / 23 = 38 \)

Найдено число \( 874 \).

Проверим все условия для числа 874:

• Четырёхзначное? Нет, трёхзначное.
• Больше 700? Да, 874 > 700.
• Чётное? Да, оканчивается на 4.
• Последняя цифра не равна 0? Да, 4 \(\neq\) 0.
• Делится на 23? Да, \( 874 / 23 = 38 \).
• \( a - c = 4 \)? Да, \( 8 - 4 = 4 \).
• \( \overline{abc} - \overline{cba} = 396 \)? \( 874 - 478 = 396 \). Да.

Все условия выполнены.

Ответ: 874.