задания.jpg

Вариант 1

1. Дано: \(a \parallel b\), \(c\) - секущая, \(\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ\) (рис. 3.171)

   Найти: Все образовавшиеся углы.

Т.к. \(\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ\), а эти углы односторонние, то \(\angle 1 = \angle 2 = 102^\circ : 2 = 51^\circ\).

Тогда \(\angle 3 = \angle 4 = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ\)

Вертикальные с ними углы тоже будут равны:

\(\angle 5 = \angle 7 = 51^\circ\); \(\angle 6 = \angle 8 = 129^\circ\).

2. Дано: \(\angle 1 = \angle 2\), \(\angle 3 = 120^\circ\) (рис. 3.172)

   Найти: \(\angle 4\)

Смотри, тут всё просто:

Т.к. \(\angle 3 = 120^\circ\), то смежный с ним \(\angle 1 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).

А \(\angle 2 = \angle 1 = 60^\circ\), т.к. по условию \(\angle 1 = \angle 2\).

Тогда \(\angle 4 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)

3. Отрезок \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\). Через точку \(D\) проведена прямая, параллельная стороне \(AB\) и пересекающая сторону \(AC\) в точке \(F\). Найдите углы треугольника \(ADF\), если \(\angle BAC = 72^\circ\).

Логика такая:

Т.к. \(AD\) - биссектриса, то \(\angle DAF = \angle BAC : 2 = 72^\circ : 2 = 36^\circ\).

Т.к. \(DF \parallel AB\), то \(\angle ADF = \angle BAC = 72^\circ\) как соответственные.

Тогда \(\angle AFD = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ\)

4. Прямая \(EK\) является секущей для прямых \(CD\) и \(MN\) (\(E \in CD\), \(K \in MN\)). \(\angle DEK\) равен \(65^\circ\). При каком значении угла \(NKE\) прямые \(CD\) и \(MN\) могут быть параллельными?

Чтобы прямые \(CD\) и \(MN\) были параллельными, нужно, чтобы односторонние углы \(DEK\) и \(NKE\) в сумме составляли \(180^\circ\).

Значит, \(\angle NKC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\).

Вариант 2

1. Дано: \(a \parallel b\), \(c\) - секущая, \(\angle 1 - \angle 2 = 102^\circ\) (рис. 3.173)

   Найти: Все образовавшиеся углы.

Пусть \(\angle 2 = x\), тогда \(\angle 1 = x + 102^\circ\).

Т.к. \(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\) (односторонние углы), то

\(x + 102^\circ + x = 180^\circ\)

\(2x = 78^\circ\)

\(x = 39^\circ\)

Тогда \(\angle 2 = 39^\circ\), \(\angle 1 = 39^\circ + 102^\circ = 141^\circ\)

\(\angle 3 = \angle 4 = 180^\circ - 141^\circ = 39^\circ\)

\(\angle 5 = \angle 7 = 141^\circ\); \(\angle 6 = \angle 8 = 39^\circ\).

2. Дано: \(\angle 1 = \angle 2\), \(\angle 3 = 140^\circ\) (рис. 3.174)

   Найти: \(\angle 4\)

Т.к. \(\angle 3 = 140^\circ\), то смежный с ним \(\angle 1 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).

А \(\angle 2 = \angle 1 = 40^\circ\), т.к. по условию \(\angle 1 = \angle 2\).

Тогда \(\angle 4 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\)

3. Отрезок \(AK\) - биссектриса треугольника \(CAE\). Через точку \(K\) проведена прямая, параллельная стороне \(CA\) и пересекающая сторону \(AE\) в точке \(N\). Найдите углы треугольника \(AKN\), если \(\angle CAE = 78^\circ\).

Разбираемся:

Т.к. \(AK\) - биссектриса, то \(\angle KAN = \angle CAE : 2 = 78^\circ : 2 = 39^\circ\).

Т.к. \(KN \parallel CA\), то \(\angle AKN = \angle CAE = 78^\circ\) как соответственные.

Тогда \(\angle ANK = 180^\circ - 39^\circ - 78^\circ = 63^\circ\)

4. Прямая \(MN\) является секущей для прямых \(AB\) и \(CD\) (\(M \in AB\), \(N \in CD\)). Угол \(AMN\) равен \(75^\circ\). При каком значении угла \(CNM\) прямые \(AB\) и \(CD\) могут быть параллельными?

Смотри, как это работает:

Чтобы прямые \(AB\) и \(CD\) были параллельными, нужно, чтобы односторонние углы \(AMN\) и \(CNM\) в сумме составляли \(180^\circ\).

Значит, \(\angle CNM = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).