Задания с 20.06.2026 В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники АСВ и А1СВ1 подобны.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle ACB \) — тупой угол, \( AA_1 \) и \( BB_1 \) — высоты.

Доказать: \( \triangle ACB \sim \triangle A_1CB_1 \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ACB \) и \( \triangle A_1CB_1 \).
2. Угол \( \angle ACB \) является общим для обоих треугольников.
3. Так как \( AA_1 \) и \( BB_1 \) — высоты, то \( \angle AA_1C = 90^{\circ} \) и \( \angle BB_1C = 90^{\circ} \).
4. Поскольку \( \angle ACB \) — тупой угол, то точки \( A_1 \) и \( B_1 \) лежат вне отрезков \( BC \) и \( AC \) соответственно.
5. Рассмотрим четырёхугольник \( AA_1BB_1 \). Сумма углов \( \angle AA_1C \) и \( \angle BB_1C \) равна \( 180^{\circ} \).
6. Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \), то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
7. Таким образом, точки \( A, B, A_1, B_1 \) лежат на одной окружности.
8. Вписанные углы \( \angle CA_1B_1 \) и \( \angle CAB \) опираются на одну дугу \( B_1B \), следовательно, \( \angle CA_1B_1 = \angle CAB \) (если они опираются на одну дугу).
9. Аналогично, вписанные углы \( \angle CB_1A_1 \) и \( \angle CBA \) опираются на одну дугу \( A_1A \), следовательно, \( \angle CB_1A_1 = \angle CBA \).
10. Итак, в \( \triangle ACB \) и \( \triangle A_1CB_1 \) имеем:
• \( \angle ACB = \angle A_1CB_1 \) (общий угол);
• \( \angle CA_1B_1 = \angle CAB \) (углы, опирающиеся на одну дугу);
• \( \angle CB_1A_1 = \angle CBA \) (углы, опирающиеся на одну дугу).
11. Следовательно, \( \triangle ACB \sim \triangle A_1CB_1 \) по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Ответ: Теорема доказана.