Задания по теме «Первообразная. Интеграл» Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1. y = x² + 6x + 9, y = 0, x = 0. 2. y = -x² + 2x + 3, y = 0. 3. y = x² + 4x + 6, y = x + 6. 4. y = x², y = 2x + 8. 5. y = x², y = x + 2. 6. y = x² + 2, y = x + 4. 7. y = x² - 4x + 4, y = 0, x = 0. 8. y = 4 - x², y = 0. 9. y = x² - 8x + 18, y = -2x + 18. 10. y = 9 - x², y = 0. 11. y = x² - 6x + 9, y = 0, x = 0. 12. y = x² - 6x + 8, y = 0, x = 2, x = 4. 13. y = -x² + x + 6, y = 0. 14. y = -2x², y = 0. 15. y = x², y = 2x. 16. y = x² + 1, y = 5. 17. xy = 4, x = 4, x = 2 и осью OX.

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти точки пересечения функций, определить верхнюю и нижнюю границы интегрирования, а затем вычислить определенный интеграл.

1. y = x² + 6x + 9, y = 0, x = 0

Найдем корни уравнения \( x² + 6x + 9 = 0 \). \( D = 6² - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \). \( x = -3 \). Так как \( x = 0 \) является одной из границ, то интегрируем от 0 до -3. Однако, по условию \( x = 0 \), что означает, что площадь ограничена осью Y. Так как \( y = (x+3)² \), то \( y \ge 0 \) для всех \( x \). Площадь от \( x = 0 \) до \( x = -3 \) равна:

\[ S = \int_{-3}^{0} (x² + 6x + 9) dx = \left[ \frac{x³}{3} + 3x² + 9x \right]_{-3}^{0} = (0) - \left( \frac{(-3)³}{3} + 3(-3)² + 9(-3) \right) = -\left( -9 + 27 - 27 \right) = 9 \]

2. y = -x² + 2x + 3, y = 0

Найдем точки пересечения \( -x² + 2x + 3 = 0 \). \( x² - 2x - 3 = 0 \). \( D = (-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \). \( x₁ = \frac{2 + 4}{2} = 3 \), \( x₂ = \frac{2 - 4}{2} = -1 \). Пара́бола направлена ветвями вниз. Площадь равна:

\[ S = \int_{-1}^{3} (-x² + 2x + 3) dx = \left[ -\frac{x³}{3} + x² + 3x \right]_{-1}^{3} = \left( -\frac{3³}{3} + 3² + 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{(-1)³}{3} + (-1)² + 3(-1) \right) = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = 9 - (\frac{1}{3} - 2) = 9 - (-\frac{5}{3}) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3} \]

3. y = x² + 4x + 6, y = x + 6

Найдем точки пересечения \( x² + 4x + 6 = x + 6 \). \( x² + 3x = 0 \). \( x(x+3) = 0 \). \( x₁ = 0 \), \( x₂ = -3 \). На интервале \( (-3, 0) \) функция \( y = x+6 \) находится выше \( y = x² + 4x + 6 \).

\[ S = \int_{-3}^{0} ((x+6) - (x² + 4x + 6)) dx = \int_{-3}^{0} (-x² - 3x) dx = \left[ -\frac{x³}{3} - \frac{3x²}{2} \right]_{-3}^{0} = (0) - \left( -\frac{(-3)³}{3} - \frac{3(-3)²}{2} \right) = - \left( 9 - \frac{27}{2} \right) = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27-18}{2} = \frac{9}{2} \]

4. y = x², y = 2x + 8

Найдем точки пересечения \( x² = 2x + 8 \). \( x² - 2x - 8 = 0 \). \( D = (-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \). \( x₁ = \frac{2 + 6}{2} = 4 \), \( x₂ = \frac{2 - 6}{2} = -2 \). На интервале \( (-2, 4) \) функция \( y = 2x+8 \) находится выше \( y = x² \).

\[ S = \int_{-2}^{4} ((2x+8) - x²) dx = \left[ x² + 8x - \frac{x³}{3} \right]_{-2}^{4} = \left( 4² + 8(4) - \frac{4³}{3} \right) - \left( (-2)² + 8(-2) - \frac{(-2)³}{3} \right) = \left( 16 + 32 - \frac{64}{3} \right) - \left( 4 - 16 + \frac{8}{3} \right) = \left( 48 - \frac{64}{3} \right) - \left( -12 + \frac{8}{3} \right) = 48 - \frac{64}{3} + 12 - \frac{8}{3} = 60 - \frac{72}{3} = 60 - 24 = 36 \]

5. y = x², y = x + 2

Найдем точки пересечения \( x² = x + 2 \). \( x² - x - 2 = 0 \). \( D = (-1)² - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). \( x₁ = \frac{1 + 3}{2} = 2 \), \( x₂ = \frac{1 - 3}{2} = -1 \). На интервале \( (-1, 2) \) функция \( y = x+2 \) находится выше \( y = x² \).

\[ S = \int_{-1}^{2} ((x+2) - x²) dx = \left[ \frac{x²}{2} + 2x - \frac{x³}{3} \right]_{-1}^{2} = \left( \frac{2²}{2} + 2(2) - \frac{2³}{3} \right) - \left( \frac{(-1)²}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)³}{3} \right) = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3}{6} - \frac{12}{6} + \frac{2}{6} \right) = \frac{18-8}{3} - \frac{-7}{6} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

6. y = x² + 2, y = x + 4

Найдем точки пересечения \( x² + 2 = x + 4 \). \( x² - x - 2 = 0 \). \( D = (-1)² - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). \( x₁ = \frac{1 + 3}{2} = 2 \), \( x₂ = \frac{1 - 3}{2} = -1 \). На интервале \( (-1, 2) \) функция \( y = x+4 \) находится выше \( y = x² + 2 \).

\[ S = \int_{-1}^{2} ((x+4) - (x² + 2)) dx = \int_{-1}^{2} (-x² + x + 2) dx = \left[ -\frac{x³}{3} + \frac{x²}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} = \left( -\frac{2³}{3} + \frac{2²}{2} + 2(2) \right) - \left( -\frac{(-1)³}{3} + \frac{(-1)²}{2} + 2(-1) \right) = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{2+3-12}{6} \right) = \frac{18-8}{3} - \frac{-7}{6} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

7. y = x² - 4x + 4, y = 0, x = 0

Найдем корни \( x² - 4x + 4 = 0 \). \( (x-2)² = 0 \). \( x = 2 \). \( y = (x-2)² \) — парабола, касающаяся оси \( OX \) в точке \( x=2 \). Площадь от \( x = 0 \) до \( x = 2 \) равна:

\[ S = \int_{0}^{2} (x² - 4x + 4) dx = \left[ \frac{x³}{3} - 2x² + 4x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2³}{3} - 2(2)² + 4(2) \right) - (0) = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3} \]

8. y = 4 - x², y = 0

Найдем точки пересечения \( 4 - x² = 0 \). \( x² = 4 \). \( x = ±2 \). Парабола направлена ветвями вниз.

\[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x²) dx = \left[ 4x - \frac{x³}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2³}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)³}{3} \right) = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3} \]

9. y = x² - 8x + 18, y = -2x + 18

Найдем точки пересечения \( x² - 8x + 18 = -2x + 18 \). \( x² - 6x = 0 \). \( x(x-6) = 0 \). \( x₁ = 0 \), \( x₂ = 6 \). На интервале \( (0, 6) \) функция \( y = -2x+18 \) находится выше \( y = x² - 8x + 18 \).

\[ S = \int_{0}^{6} ((-2x+18) - (x² - 8x + 18)) dx = \int_{0}^{6} (-x² + 6x) dx = \left[ -\frac{x³}{3} + 3x² \right]_{0}^{6} = \left( -\frac{6³}{3} + 3(6)² \right) - (0) = -\frac{216}{3} + 3(36) = -72 + 108 = 36 \]

10. y = 9 - x², y = 0

Найдем точки пересечения \( 9 - x² = 0 \). \( x² = 9 \). \( x = ±3 \). Парабола направлена ветвями вниз.

\[ S = \int_{-3}^{3} (9 - x²) dx = \left[ 9x - \frac{x³}{3} \right]_{-3}^{3} = \left( 9(3) - \frac{3³}{3} \right) - \left( 9(-3) - \frac{(-3)³}{3} \right) = \left( 27 - 9 \right) - \left( -27 + 9 \right) = 18 - (-18) = 36 \]

11. y = x² - 6x + 9, y = 0, x = 0

Найдем корни \( x² - 6x + 9 = 0 \). \( (x-3)² = 0 \). \( x = 3 \). \( y = (x-3)² \) — парабола, касающаяся оси \( OX \) в точке \( x=3 \). Площадь от \( x = 0 \) до \( x = 3 \) равна:

\[ S = \int_{0}^{3} (x² - 6x + 9) dx = \left[ \frac{x³}{3} - 3x² + 9x \right]_{0}^{3} = \left( \frac{3³}{3} - 3(3)² + 9(3) \right) - (0) = (9 - 27 + 27) = 9 \]

12. y = x² - 6x + 8, y = 0, x = 2, x = 4

Найдем корни \( x² - 6x + 8 = 0 \). \( D = (-6)² - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \). \( x₁ = \frac{6 + 2}{2} = 4 \), \( x₂ = \frac{6 - 2}{2} = 2 \). Парабола направлена ветвями вверх, и ось \( OX \) является секущей. Площадь от \( x = 2 \) до \( x = 4 \) равна:

\[ S = \int_{2}^{4} -(x² - 6x + 8) dx = \int_{2}^{4} (-x² + 6x - 8) dx = \left[ -\frac{x³}{3} + 3x² - 8x \right]_{2}^{4} = \left( -\frac{4³}{3} + 3(4)² - 8(4) \right) - \left( -\frac{2³}{3} + 3(2)² - 8(2) \right) = \left( -\frac{64}{3} + 48 - 32 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 12 - 16 \right) = \left( 16 - \frac{64}{3} \right) - \left( -4 - \frac{8}{3} \right) = 16 - \frac{64}{3} + 4 + \frac{8}{3} = 20 - \frac{56}{3} = \frac{60-56}{3} = \frac{4}{3} \]

13. y = -x² + x + 6, y = 0

Найдем точки пересечения \( -x² + x + 6 = 0 \). \( x² - x - 6 = 0 \). \( D = (-1)² - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \). \( x₁ = \frac{1 + 5}{2} = 3 \), \( x₂ = \frac{1 - 5}{2} = -2 \). Парабола направлена ветвями вниз.

\[ S = \int_{-2}^{3} (-x² + x + 6) dx = \left[ -\frac{x³}{3} + \frac{x²}{2} + 6x \right]_{-2}^{3} = \left( -\frac{3³}{3} + \frac{3²}{2} + 6(3) \right) - \left( -\frac{(-2)³}{3} + \frac{(-2)²}{2} + 6(-2) \right) = \left( -9 + \frac{9}{2} + 18 \right) - \left( \frac{8}{3} + 2 - 12 \right) = \left( 9 + \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{8}{3} - 10 \right) = \frac{18+9}{2} - \frac{8-30}{3} = \frac{27}{2} - \frac{-22}{3} = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81+44}{6} = \frac{125}{6} \]

14. y = -2x², y = 0

Эта функция касается оси \( OX \) в точке \( x=0 \). Так как \( -2x² \le 0 \) для всех \( x \), площадь фигуры, ограниченной этой кривой и осью \( OX \), будет равна 0, если нет других ограничивающих линий.

\[ S = \int_{a}^{b} 0 - (-2x²) dx = \int_{a}^{b} 2x² dx \]. Без указания границ интегрирования, площадь равна 0.

15. y = x², y = 2x

Найдем точки пересечения \( x² = 2x \). \( x² - 2x = 0 \). \( x(x-2) = 0 \). \( x₁ = 0 \), \( x₂ = 2 \). На интервале \( (0, 2) \) функция \( y = 2x \) находится выше \( y = x² \).

\[ S = \int_{0}^{2} (2x - x²) dx = \left[ x² - \frac{x³}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2² - \frac{2³}{3} \right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \]

16. y = x² + 1, y = 5

Найдем точки пересечения \( x² + 1 = 5 \). \( x² = 4 \). \( x = ±2 \). На интервале \( (-2, 2) \) функция \( y = 5 \) находится выше \( y = x² + 1 \).

\[ S = \int_{-2}^{2} (5 - (x² + 1)) dx = \int_{-2}^{2} (4 - x²) dx = \left[ 4x - \frac{x³}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2³}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)³}{3} \right) = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3} \]

17. xy = 4, x = 4, x = 2 и осью OX

Из \( xy = 4 \) следует \( y = \frac{4}{x} \). Интегрируем от \( x=2 \) до \( x=4 \).

\[ S = \int_{2}^{4} \frac{4}{x} dx = \left[ 4 \ln|x| \right]_{2}^{4} = 4 \ln|4| - 4 \ln|2| = 4(\ln 4 - \ln 2) = 4 \ln \frac{4}{2} = 4 \ln 2 \]

b) Наибольшее и наименьшее ее значения на пр

Это задание не относится к вычислению площадей и требует отдельного решения, связанного с нахождением экстремумов функции на заданном промежутке.

Ответ: Площади фигур для каждого пункта следующие: 1. 9; 2. 32/3; 3. 9/2; 4. 36; 5. 9/2; 6. 9/2; 7. 8/3; 8. 32/3; 9. 36; 10. 36; 11. 9; 12. 4/3; 13. 125/6; 14. 0 (без дополнительных границ); 15. 4/3; 16. 32/3; 17. 4 ln 2.