Задания для самостоятельной работы Исследуйте функцию и постройте график: a) y = x² - 8x + 12; б) y = x² + 10x + 9; в) у = -x² + 2x + 3; г) у= x²/(x-2); д) у = -2x² + x + 1; e) y = 3x³ - x. Задание на дом Исследуйте функцию у = х²-6x + 5 и постройте графи

Задания для самостоятельной работы

a) y = x² - 8x + 12

• Шаг 1: Найдем вершину параболы.
• Координата x вершины: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \cdot 1} = 4 \]
• Координата y вершины: \[ y_v = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 \]
• Вершина параболы: (4, -4)
• Шаг 2: Найдем нули функции (точки пересечения с осью x).
• Решим уравнение: \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \]
• Дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]
• Корни: \[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \], \[ x_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2 \]
• Нули функции: x = 2, x = 6
• Шаг 3: Ось симметрии: x = 4
• Шаг 4: Построим график функции.

б) y = x² + 10x + 9

• Шаг 1: Найдем вершину параболы.
• Координата x вершины: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2 \cdot 1} = -5 \]
• Координата y вершины: \[ y_v = (-5)^2 + 10 \cdot (-5) + 9 = 25 - 50 + 9 = -16 \]
• Вершина параболы: (-5, -16)
• Шаг 2: Найдем нули функции (точки пересечения с осью x).
• Решим уравнение: \[ x^2 + 10x + 9 = 0 \]
• Дискриминант: \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \]
• Корни: \[ x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-10 + 8}{2} = -1 \], \[ x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-10 - 8}{2} = -9 \]
• Нули функции: x = -1, x = -9
• Шаг 3: Ось симметрии: x = -5
• Шаг 4: Построим график функции.

в) y = -x² + 2x + 3

• Шаг 1: Найдем вершину параболы.
• Координата x вершины: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = 1 \]
• Координата y вершины: \[ y_v = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \]
• Вершина параболы: (1, 4)
• Шаг 2: Найдем нули функции (точки пересечения с осью x).
• Решим уравнение: \[ -x^2 + 2x + 3 = 0 \]
• Дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \]
• Корни: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{-2} = \frac{-2 + 4}{-2} = -1 \], \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{-2} = \frac{-2 - 4}{-2} = 3 \]
• Нули функции: x = -1, x = 3
• Шаг 3: Ось симметрии: x = 1
• Шаг 4: Построим график функции.

г) y = x² / (x - 2)

• Шаг 1: Область определения: x ≠ 2
• Шаг 2: Найдем точки пересечения с осями координат.
• Если y = 0, то x² = 0, следовательно, x = 0. Точка (0, 0).
• Шаг 3: Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва x = 2.
• Шаг 4: Найдем асимптоты.
• Вертикальная асимптота: x = 2
• Наклонная асимптота: y = x + 2
• Шаг 5: Построим график функции.

д) y = -2x² + x + 1

• Шаг 1: Найдем вершину параболы.
• Координата x вершины: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{4} = 0.25 \]
• Координата y вершины: \[ y_v = -2 \cdot (0.25)^2 + 0.25 + 1 = -2 \cdot 0.0625 + 0.25 + 1 = -0.125 + 0.25 + 1 = 1.125 \]
• Вершина параболы: (0.25, 1.125)
• Шаг 2: Найдем нули функции (точки пересечения с осью x).
• Решим уравнение: \[ -2x^2 + x + 1 = 0 \]
• Дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 1 + 8 = 9 \]
• Корни: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{-4} = \frac{-1 + 3}{-4} = -0.5 \], \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{-4} = \frac{-1 - 3}{-4} = 1 \]
• Нули функции: x = -0.5, x = 1
• Шаг 3: Ось симметрии: x = 0.25
• Шаг 4: Построим график функции.

e) y = 3x³ - x

• Шаг 1: Найдем нули функции (точки пересечения с осью x).
• Решим уравнение: \[ 3x^3 - x = 0 \]
• Вынесем x за скобки: \[ x(3x^2 - 1) = 0 \]
• Корни: x = 0, x = \(\sqrt{\frac{1}{3}}\), x = -\(\sqrt{\frac{1}{3}}\)
• Шаг 2: Найдем первую производную.
• \[ y' = 9x^2 - 1 \]
• Шаг 3: Найдем критические точки (где y' = 0).
• Решим уравнение: \[ 9x^2 - 1 = 0 \]
• Критические точки: x = \(\frac{1}{3}\), x = -\(\frac{1}{3}\)
• Шаг 4: Построим график функции.

Задание на дом

Исследуйте функцию y = x² - 6x + 5 и постройте график

• Шаг 1: Найдем вершину параболы.
• Координата x вершины: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3 \]
• Координата y вершины: \[ y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \]
• Вершина параболы: (3, -4)
• Шаг 2: Найдем нули функции (точки пересечения с осью x).
• Решим уравнение: \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]
• Дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]
• Корни: \[ x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \], \[ x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \]
• Нули функции: x = 1, x = 5
• Шаг 3: Ось симметрии: x = 3
• Шаг 4: Построим график функции.