Задания для самостоятельного решения Задание 10 На высоте, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, взята произвольная точка. Докажите, что она равноудалена от вершин основания.

Ответ: доказательство в решении.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Пусть BD — высота, проведенная к основанию AC, и E — произвольная точка на высоте BD. Нужно доказать, что AE = CE.

Шаг 1: Докажем, что треугольники ABD и CBD равны.

• BD — общая сторона.
• AB = BC (по определению равнобедренного треугольника).
• \(\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ\) (так как BD — высота).

Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CBD\) по гипотенузе и катету.

Шаг 2: Из равенства треугольников следует, что AD = CD.

Шаг 3: Рассмотрим треугольники ADE и CDE.

• DE — общая сторона.
• AD = CD (доказано выше).
• \(\angle ADE = \angle CDE = 90^\circ\) (так как BD — высота).

Следовательно, \(\triangle ADE = \triangle CDE\) по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Шаг 4: Из равенства треугольников ADE и CDE следует, что AE = CE.

Таким образом, любая точка на высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равноудалена от вершин основания.

Ответ: доказательство в решении.