Задания для практической работы № 2 Задание 1. На множестве М = {1,2,3,4} задано бинарное отношение р. Выяснить свойства отношения (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность. антисимметричность, транзитивность). Найти область определения и область значений отношения. Построить обратное отношение р-1, композиции отношений рор-1 и р-1ор. Вариант 1 2 Бинарное отношение р {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} V

Задание 1 для варианта 1

На множестве M = {1, 2, 3, 4} задано бинарное отношение ρ = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}.

1. Свойства отношения:

• Рефлексивность: Отношение не является рефлексивным, так как не для всех элементов a ∈ M выполняется (a, a) ∈ ρ. Например, (4, 4) ∉ ρ.
• Антирефлексивность: Отношение не является антирефлексивным, так как существуют элементы a ∈ M, для которых (a, a) ∈ ρ. Например, (1, 1) ∈ ρ.
• Симметричность: Отношение не является симметричным, так как не для всех (a, b) ∈ ρ выполняется (b, a) ∈ ρ. Например, (1, 2) ∈ ρ, но (2, 1) ∉ ρ.
• Антисимметричность: Отношение не является антисимметричным, так как существуют элементы a, b ∈ M, для которых (a, b) ∈ ρ и (b, a) ∈ ρ, но a ≠ b. Например, (3,2) ∈ ρ и (2,3) ∈ ρ.
• Транзитивность: Отношение не является транзитивным, так как не для всех (a, b) ∈ ρ и (b, c) ∈ ρ выполняется (a, c) ∈ ρ. Например, (1, 2) ∈ ρ и (2, 3) ∈ ρ, но (1, 3) ∉ ρ.

2. Область определения и область значений отношения:

• Область определения: D(ρ) = {1, 2, 3} (множество первых элементов пар в ρ).
• Область значений: R(ρ) = {1, 2, 3, 4} (множество вторых элементов пар в ρ).

3. Обратное отношение ρ^-1:

ρ^-1 = {(1, 1), (2, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)} (меняем местами элементы в каждой паре ρ).

4. Композиции отношений:

a) ρ ∘ ρ^-1: {(1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} ∘ {(1,1), (2,1), (4,1), (2,2), (3,2), (2,3), (3,3)}

• (1,1) ∈ ρ и (1,1) ∈ ρ^-1 → (1,1) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (1,2) ∈ ρ и (2,1) ∈ ρ^-1 → (1,1) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (1,4) ∈ ρ и (4,1) ∈ ρ^-1 → (1,1) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (2,2) ∈ ρ и (2,2) ∈ ρ^-1 → (2,2) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (2,3) ∈ ρ и (3,2) ∈ ρ^-1 → (2,2) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (3,2) ∈ ρ и (2,1) ∈ ρ^-1 → (3,1) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (3,3) ∈ ρ и (3,2) ∈ ρ^-1 → (3,2) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (3,3) ∈ ρ и (3,3) ∈ ρ^-1 → (3,3) ∈ ρ ∘ ρ^-1

ρ ∘ ρ^-1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

b) ρ^-1 ∘ ρ: {(1,1), (2,1), (4,1), (2,2), (3,2), (2,3), (3,3)} ∘ {(1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}

• (1,1) ∈ ρ^-1 и (1,1) ∈ ρ → (1,1) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (1,1) ∈ ρ^-1 и (1,2) ∈ ρ → (1,2) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (1,1) ∈ ρ^-1 и (1,4) ∈ ρ → (1,4) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (2,2) ∈ ρ^-1 и (2,2) ∈ ρ → (2,2) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (2,2) ∈ ρ^-1 и (2,3) ∈ ρ → (2,3) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (3,2) ∈ ρ^-1 и (2,2) ∈ ρ → (3,2) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (3,2) ∈ ρ^-1 и (2,3) ∈ ρ → (3,3) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (3,3) ∈ ρ^-1 и (3,2) ∈ ρ → (3,2) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (3,3) ∈ ρ^-1 и (3,3) ∈ ρ → (3,3) ∈ ρ^-1 ∘ ρ

ρ^-1 ∘ ρ = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}

Задание 1 для варианта 2

На множестве M = {1, 2, 3, 4} задано бинарное отношение ρ = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)}.

1. Свойства отношения:

• Рефлексивность: Отношение не является рефлексивным, так как не для всех элементов a ∈ M выполняется (a, a) ∈ ρ. Например, (2, 2) ∈ ρ, (1,1) ∈ ρ и (4, 4) ∈ ρ, но (3,3) ∈ ρ, значит не выполняется.
• Антирефлексивность: Отношение не является антирефлексивным, так как существуют элементы a ∈ M, для которых (a, a) ∈ ρ. Например, (1, 1) ∈ ρ.
• Симметричность: Отношение не является симметричным, так как не для всех (a, b) ∈ ρ выполняется (b, a) ∈ ρ. Например, (2, 1) ∈ ρ, но (1, 2) ∉ ρ.
• Антисимметричность: Отношение является антисимметричным, так как для всех (a, b) ∈ ρ и (b, a) ∈ ρ выполняется a = b.
• Транзитивность: Отношение не является транзитивным, так как не для всех (a, b) ∈ ρ и (b, c) ∈ ρ выполняется (a, c) ∈ ρ. Например, (2, 1) ∈ ρ и (1, 1) ∈ ρ, но (2, 2) ∉ ρ.

2. Область определения и область значений отношения:

• Область определения: D(ρ) = {1, 2, 3, 4} (множество первых элементов пар в ρ).
• Область значений: R(ρ) = {1, 2, 3, 4} (множество вторых элементов пар в ρ).

3. Обратное отношение ρ^-1:

ρ^-1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (1, 4), (2, 4), (4, 4)} (меняем местами элементы в каждой паре ρ).

4. Композиции отношений:

a) ρ ∘ ρ^-1: {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} ∘ {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (1, 4), (2, 4), (4, 4)}

• (1,1) ∈ ρ и (1,1) ∈ ρ^-1 → (1,1) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (2,1) ∈ ρ и (1,1) ∈ ρ^-1 → (2,1) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (2,2) ∈ ρ и (2,2) ∈ ρ^-1 → (2,2) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (3,3) ∈ ρ и (3,3) ∈ ρ^-1 → (3,3) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (4,1) ∈ ρ и (1,1) ∈ ρ^-1 → (4,1) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (4,2) ∈ ρ и (2,2) ∈ ρ^-1 → (4,2) ∈ ρ ∘ ρ^-1
• (4,4) ∈ ρ и (4,4) ∈ ρ^-1 → (4,4) ∈ ρ ∘ ρ^-1

ρ ∘ ρ^-1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)}

b) ρ^-1 ∘ ρ: {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (1, 4), (2, 4), (4, 4)} ∘ {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)}

• (1,1) ∈ ρ^-1 и (1,1) ∈ ρ → (1,1) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (1,2) ∈ ρ^-1 и (2,1) ∈ ρ → (1,1) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (1,2) ∈ ρ^-1 и (2,2) ∈ ρ → (1,2) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (1,4) ∈ ρ^-1 и (4,1) ∈ ρ → (1,1) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (1,4) ∈ ρ^-1 и (4,2) ∈ ρ → (1,2) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (1,4) ∈ ρ^-1 и (4,4) ∈ ρ → (1,4) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (2,2) ∈ ρ^-1 и (2,1) ∈ ρ → (2,1) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (2,2) ∈ ρ^-1 и (2,2) ∈ ρ → (2,2) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (3,3) ∈ ρ^-1 и (3,3) ∈ ρ → (3,3) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (4,4) ∈ ρ^-1 и (4,1) ∈ ρ → (4,1) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (4,4) ∈ ρ^-1 и (4,2) ∈ ρ → (4,2) ∈ ρ^-1 ∘ ρ
• (4,4) ∈ ρ^-1 и (4,4) ∈ ρ → (4,4) ∈ ρ^-1 ∘ ρ

ρ^-1 ∘ ρ = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)}

Ответ: Решение выше.

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!