Задания 70–74 по теме «Квадратные корни»

70. Имеет ли смысл выражение

1. \(\sqrt{5}\) имеет смысл, так как \(5\geq0\).
2. \(-\sqrt{5}\) имеет смысл, так как подкоренное выражение положительно.
3. \(\sqrt{-5}\) не имеет смысла в действительных числах, так как \(-5<0\).
4. \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\) имеет смысл.

Ответ: 1), 2), 4) имеют смысл; 3) не имеет смысла.

71. Найдите значение выражения

1. \(0.2\sqrt{400}-\frac{1}{3}\sqrt{81}=0.2\cdot20-\frac{1}{3}\cdot9=4-3=1\).
2. \(\sqrt{49}\cdot\sqrt{0.09}+\sqrt{2^3+1}=7\cdot0.3+\sqrt{9}=2.1+3=5.1\).
3. \(5\sqrt{0.64}-\sqrt{5^2+12^2}=5\cdot0.8-\sqrt{25+144}=4-\sqrt{169}=4-13=-9\).
4. \(\sqrt{5\frac{4}{9}}-\sqrt{1\frac{11}{25}}+0.07\sqrt{10000}=\sqrt{\frac{49}{9}}-\sqrt{\frac{36}{25}}+0.07\cdot100=\frac{7}{3}-\frac{6}{5}+7=\frac{35-18+105}{15}=\frac{122}{15}=8\frac{2}{15}\).

Ответ: 1) \(1\); 2) \(5.1\); 3) \(-9\); 4) \(8\frac{2}{15}\).

72. Найдите значение выражения

1. \((\sqrt6)^2-\sqrt{1.69}=6-1.3=4.7\).
2. \((2\sqrt7)^2-(5\sqrt2)^2=4\cdot7-25\cdot2=28-50=-22\).
3. \(18\cdot\left(-\frac13\sqrt5\right)^2-\frac16\cdot(4\sqrt3)^2=18\cdot\frac59-\frac16\cdot48=10-8=2\).
4. \(\sqrt{961}-\left(\frac15\sqrt{125}\right)^2=31-\left(\frac{5\sqrt5}{5}\right)^2=31-(\sqrt5)^2=31-5=26\).

Ответ: 1) \(4.7\); 2) \(-22\); 3) \(2\); 4) \(26\).

73. При каких значениях \(a\) выражение имеет смысл

1. \(\sqrt{a-3}\): \(a-3\geq0\), поэтому \(a\geq3\).
2. \(\sqrt{4-a}\): \(4-a\geq0\), поэтому \(a\leq4\).
3. \(\sqrt{(a-3)^2}\) имеет смысл при любом действительном \(a\), так как квадрат неотрицателен.
4. \(\sqrt{a^4+1}\) имеет смысл при любом действительном \(a\), так как \(a^4+1>0\).
5. \(\sqrt{-a-3}\): \(-a-3\geq0\), поэтому \(a\leq-3\).
6. \(\sqrt{-(a-3)^6}\): необходимо \(-(a-3)^6\geq0\). Это возможно только при \((a-3)^6=0\), значит \(a=3\).

Ответ: 1) \(a\geq3\); 2) \(a\leq4\); 3) любое действительное \(a\); 4) любое действительное \(a\); 5) \(a\leq-3\); 6) \(a=3\).

74. Решите уравнения

1. \(\sqrt{x}=5\Rightarrow x=25\).
2. \(\sqrt{x}=\frac27\Rightarrow x=\frac{4}{49}\).
3. \(\sqrt{x}-8=0\Rightarrow\sqrt{x}=8\Rightarrow x=64\).
4. \(2\sqrt{x}-9=0\Rightarrow2\sqrt{x}=9\Rightarrow\sqrt{x}=\frac92\Rightarrow x=\frac{81}{4}\).
5. \(\frac13\sqrt{x}+4=0\Rightarrow\sqrt{x}=-12\). Такое равенство невозможно, так как квадратный корень неотрицателен. Решений нет.
6. На фото условие пункта 6 обрезано, поэтому однозначно решить его нельзя.
7. \(\sqrt{6x-3}=0\Rightarrow6x-3=0\Rightarrow x=\frac12\).
8. \(\sqrt{6x-3}=2\Rightarrow6x-3=4\Rightarrow6x=7\Rightarrow x=\frac76\).
9. \(\frac{21}{\sqrt{x}}=3\), где \(x>0\). Тогда \(21=3\sqrt{x}\), \(\sqrt{x}=7\), поэтому \(x=49\).
10. \(\frac{10}{\sqrt{x-4}}=5\), где \(x>4\). Тогда \(10=5\sqrt{x-4}\), \(\sqrt{x-4}=2\), поэтому \(x-4=4\), \(x=8\).
11. \(\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{x}}}=3\). Возводим в квадрат: \(3+\sqrt{5+\sqrt{x}}=9\), поэтому \(\sqrt{5+\sqrt{x}}=6\). Ещё раз возводим в квадрат: \(5+\sqrt{x}=36\), значит \(\sqrt{x}=31\), откуда \(x=961\).
12. \((x-1)\sqrt{x^2-4}=0\). Область допустимых значений: \(x^2-4\geq0\), то есть \(x\leq-2\) или \(x\geq2\). Произведение равно нулю, если \(x-1=0\) или \(x^2-4=0\). Значение \(x=1\) не входит в ОДЗ, а из второго условия получаем \(x=-2\) или \(x=2\).

Ответ: 1) \(25\); 2) \(\frac{4}{49}\); 3) \(64\); 4) \(\frac{81}{4}\); 5) решений нет; 6) условие не видно; 7) \(\frac12\); 8) \(\frac76\); 9) \(49\); 10) \(8\); 11) \(961\); 12) \(-2,2\).