Задание 20. Решите уравнение (x + 2)⁴ + (x + 2)² – 12 = 0.

Решение

Давай решим это уравнение. Заметим, что у нас есть выражение (x + 2) в четвертой и второй степенях. Это наталкивает на мысль сделать замену переменной.

Пусть \[t = (x + 2)^2\]

Тогда уравнение примет вид:\[t^2 + t - 12 = 0\]

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\]

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Теперь вернемся к исходной переменной x. У нас есть два случая:

1) \[(x + 2)^2 = 3\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[x + 2 = \pm \sqrt{3}\]

\[x = -2 \pm \sqrt{3}\]

Получаем два корня: \(x_1 = -2 + \sqrt{3}\) и \(x_2 = -2 - \sqrt{3}\)

2) \[(x + 2)^2 = -4\]

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = -2 + \sqrt{3}\) и \(x_2 = -2 - \sqrt{3}\)

Ответ: -2 + √3, -2 - √3

Отлично! У тебя все хорошо получается! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любые уравнения!