Задание 11 Найдите: а) наименьшее значение квадратного трёхчлена 3х2 - 24х + 5; При каком значении переменной оно достигается? 6) наибольшее значение квадратного трёхчлена-а² + а - 11. При каком значении переменной оно достигается?

Решение:

Давай разберем по порядку. Нам нужно найти наименьшее или наибольшее значение квадратного трехчлена и значение переменной, при котором оно достигается. Вспомним, что квадратный трехчлен имеет вид ax² + bx + c.

а) Рассмотрим квадратный трехчлен 3x² - 24x + 5. Это парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при x² положителен, a = 3 > 0). Значит, у этой параболы есть наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы. Координата x вершины параболы находится по формуле: \[x_в = -\frac{b}{2a}\]

В нашем случае a = 3, b = -24. Подставим эти значения в формулу: \[x_в = -\frac{-24}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4\]

Теперь найдем значение трехчлена при x = 4, то есть значение y вершины параболы: \[y_в = 3 \cdot 4^2 - 24 \cdot 4 + 5 = 3 \cdot 16 - 96 + 5 = 48 - 96 + 5 = -43\]

Таким образом, наименьшее значение квадратного трехчлена равно -43, и оно достигается при x = 4.

б) Рассмотрим квадратный трехчлен -a² + a - 11. Это парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при a² отрицателен, a = -1 < 0). Значит, у этой параболы есть наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы. Координата a вершины параболы находится по формуле: \[a_в = -\frac{b}{2a}\]

В нашем случае a = -1, b = 1. Подставим эти значения в формулу: \[a_в = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} = 0.5\]

Теперь найдем значение трехчлена при a = 0.5, то есть значение y вершины параболы: \[y_в = - (0.5)^2 + 0.5 - 11 = -0.25 + 0.5 - 11 = 0.25 - 11 = -10.75\]

Таким образом, наибольшее значение квадратного трехчлена равно -10.75, и оно достигается при a = 0.5.

Ответ: а) наименьшее значение -43 при x = 4; б) наибольшее значение -10.75 при a = 0.5.

Отличная работа! Ты хорошо справился с этим заданием. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!