Контрольные задания > 1. Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f: 1. y=x⁴+4x, [-2;1]. 3. y=\frac{2x³}{3} - \frac{5x²}{2}+3x, [0;2]. 5. y=\frac{x³}{3} - \frac{3x²}{2}+2x, [-1;3]. 2. y=2x²-4x³, [-1;2]. 4. y=\frac{x⁴}{2} - x², [-2;1]. 6. y = 3x-x³, [-2;2]. 7. y=x⁴-2x²+1, [-2;2]. 8. y=\frac{x³}{3} - \frac{x²}{2} - 2x, [-2;3].
Вопрос:

1. Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f: 1. y=x⁴+4x, [-2;1]. 3. y=\frac{2x³}{3} - \frac{5x²}{2}+3x, [0;2]. 5. y=\frac{x³}{3} - \frac{3x²}{2}+2x, [-1;3]. 2. y=2x²-4x³, [-1;2]. 4. y=\frac{x⁴}{2} - x², [-2;1]. 6. y = 3x-x³, [-2;2]. 7. y=x⁴-2x²+1, [-2;2]. 8. y=\frac{x³}{3} - \frac{x²}{2} - 2x, [-2;3].

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: Решения ниже

Краткое пояснение: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке необходимо найти производную функции, определить критические точки (где производная равна нулю или не существует), а затем вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. y = x⁴ + 4x, [-2; 1]

  • Производная: y' = 4x³ + 4
  • Критические точки: 4x³ + 4 = 0 → x³ = -1 → x = -1 (принадлежит отрезку [-2; 1])
  • Вычисление значений:
  • y(-2) = (-2)⁴ + 4(-2) = 16 - 8 = 8
  • y(-1) = (-1)⁴ + 4(-1) = 1 - 4 = -3
  • y(1) = (1)⁴ + 4(1) = 1 + 4 = 5

Наибольшее значение: 8, наименьшее значение: -3

2. y = 2x² - 4x³, [-1; 2]

  • Производная: y' = 4x - 12x²
  • Критические точки: 4x - 12x² = 0 → 4x(1 - 3x) = 0 → x = 0, x = \frac{1}{3} (обе принадлежат отрезку [-1; 2])
  • Вычисление значений:
  • y(-1) = 2(-1)² - 4(-1)³ = 2 + 4 = 6
  • y(0) = 2(0)² - 4(0)³ = 0
  • y(\frac{1}{3}) = 2(\frac{1}{3})² - 4(\frac{1}{3})³ = \frac{2}{9} - \frac{4}{27} = \frac{6 - 4}{27} = \frac{2}{27}
  • y(2) = 2(2)² - 4(2)³ = 8 - 32 = -24

Наибольшее значение: 6, наименьшее значение: -24

3. y = \frac{2x³}{3} - \frac{5x²}{2} + 3x, [0; 2]

  • Производная: y' = 2x² - 5x + 3
  • Критические точки: 2x² - 5x + 3 = 0 → D = 25 - 4\cdot2\cdot3 = 1 → x = \frac{5 \pm 1}{4} → x = 1, x = \frac{3}{2} (обе принадлежат отрезку [0; 2])
  • Вычисление значений:
  • y(0) = 0
  • y(1) = \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 3 = \frac{4 - 15 + 18}{6} = \frac{7}{6}
  • y(\frac{3}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{3}{2})³ - \frac{5}{2}(\frac{3}{2})² + 3(\frac{3}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{27}{8} - \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{4} + \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{45}{8} + \frac{36}{8} = \frac{18 - 45 + 36}{8} = \frac{9}{8}
  • y(2) = \frac{2(2)³}{3} - \frac{5(2)²}{2} + 3(2) = \frac{16}{3} - 10 + 6 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16 - 12}{3} = \frac{4}{3}

Наибольшее значение: \frac{7}{6}, наименьшее значение: 0

4. y = \frac{x⁴}{2} - x², [-2; 1]

  • Производная: y' = 2x³ - 2x
  • Критические точки: 2x³ - 2x = 0 → 2x(x² - 1) = 0 → x = 0, x = -1, x = 1 (все принадлежат отрезку [-2; 1])
  • Вычисление значений:
  • y(-2) = \frac{(-2)⁴}{2} - (-2)² = \frac{16}{2} - 4 = 8 - 4 = 4
  • y(-1) = \frac{(-1)⁴}{2} - (-1)² = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}
  • y(0) = 0
  • y(1) = \frac{(1)⁴}{2} - (1)² = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}

Наибольшее значение: 4, наименьшее значение: -\frac{1}{2}

5. y = \frac{x³}{3} - \frac{3x²}{2} + 2x, [-1; 3]

  • Производная: y' = x² - 3x + 2
  • Критические точки: x² - 3x + 2 = 0 → (x - 1)(x - 2) = 0 → x = 1, x = 2 (обе принадлежат отрезку [-1; 3])
  • Вычисление значений:
  • y(-1) = \frac{(-1)³}{3} - \frac{3(-1)²}{2} + 2(-1) = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 2 = \frac{-2 - 9 - 12}{6} = -\frac{23}{6}
  • y(1) = \frac{(1)³}{3} - \frac{3(1)²}{2} + 2(1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}
  • y(2) = \frac{(2)³}{3} - \frac{3(2)²}{2} + 2(2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8 - 6}{3} = \frac{2}{3}
  • y(3) = \frac{(3)³}{3} - \frac{3(3)²}{2} + 2(3) = 9 - \frac{27}{2} + 6 = 15 - \frac{27}{2} = \frac{30 - 27}{2} = \frac{3}{2}

Наибольшее значение: \frac{3}{2}, наименьшее значение: -\frac{23}{6}

6. y = 3x - x³, [-2; 2]

  • Производная: y' = 3 - 3x²
  • Критические точки: 3 - 3x² = 0 → x² = 1 → x = -1, x = 1 (обе принадлежат отрезку [-2; 2])
  • Вычисление значений:
  • y(-2) = 3(-2) - (-2)³ = -6 + 8 = 2
  • y(-1) = 3(-1) - (-1)³ = -3 + 1 = -2
  • y(1) = 3(1) - (1)³ = 3 - 1 = 2
  • y(2) = 3(2) - (2)³ = 6 - 8 = -2

Наибольшее значение: 2, наименьшее значение: -2

7. y = x⁴ - 2x² + 1, [-2; 2]

  • Производная: y' = 4x³ - 4x
  • Критические точки: 4x³ - 4x = 0 → 4x(x² - 1) = 0 → x = 0, x = -1, x = 1 (все принадлежат отрезку [-2; 2])
  • Вычисление значений:
  • y(-2) = (-2)⁴ - 2(-2)² + 1 = 16 - 8 + 1 = 9
  • y(-1) = (-1)⁴ - 2(-1)² + 1 = 1 - 2 + 1 = 0
  • y(0) = 0 - 0 + 1 = 1
  • y(1) = (1)⁴ - 2(1)² + 1 = 1 - 2 + 1 = 0
  • y(2) = (2)⁴ - 2(2)² + 1 = 16 - 8 + 1 = 9

Наибольшее значение: 9, наименьшее значение: 0

8. y = \frac{x³}{3} - \frac{x²}{2} - 2x, [-2; 3]

  • Производная: y' = x² - x - 2
  • Критические точки: x² - x - 2 = 0 → (x - 2)(x + 1) = 0 → x = 2, x = -1 (обе принадлежат отрезку [-2; 3])
  • Вычисление значений:
  • y(-2) = \frac{(-2)³}{3} - \frac{(-2)²}{2} - 2(-2) = -\frac{8}{3} - 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 2 = \frac{-8 + 6}{3} = -\frac{2}{3}
  • y(-1) = \frac{(-1)³}{3} - \frac{(-1)²}{2} - 2(-1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2 - 3 + 12}{6} = \frac{7}{6}
  • y(2) = \frac{(2)³}{3} - \frac{(2)²}{2} - 2(2) = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8 - 18}{3} = -\frac{10}{3}
  • y(3) = \frac{(3)³}{3} - \frac{(3)²}{2} - 2(3) = 9 - \frac{9}{2} - 6 = 3 - \frac{9}{2} = \frac{6 - 9}{2} = -\frac{3}{2}

Наибольшее значение: \frac{7}{6}, наименьшее значение: -\frac{10}{3}

Ответ: Решения выше

Цифровой атлет: Скилл прокачан до небес. Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю