Задание 15 Измените один из коэффициентов квадратного трёхчлена 25а² + 20ab + 1662 так, чтобы его можно было представить в виде квадрата двучлена. Сколько решений имеет задача?

Рассмотрим трехчлен 25a² + 20ab + 16b².

Чтобы трехчлен был полным квадратом, он должен иметь вид (Aa ± Bb)² = A²a² ± 2ABab + B²b².

В нашем случае есть три варианта изменения коэффициентов:

1. Изменить коэффициент при a²:

Нужно, чтобы выполнялось условие: 25a² + 20ab + 16b² = (Aa ± Bb)².

Если изменить 25 на A², то 20ab должно равняться 2 * A * 4b, то есть 20ab = 8Ab. Отсюда A = 20/8 = 5/2.

Тогда A² = (5/2)² = 25/4 = 6.25.

Получаем трехчлен 6.25a² + 20ab + 16b² = (2.5a + 4b)².

2. Изменить коэффициент при ab:

Нужно, чтобы выполнялось условие: 25a² + 20ab + 16b² = (5a ± Bb)².

Чтобы выполнялось условие полного квадрата, 20ab должно быть равно 2 * 5a * 4b, то есть 20ab = 40ab.

Получаем трехчлен 25a² + 40ab + 16b² = (5a + 4b)².

3. Изменить коэффициент при b²:

Нужно, чтобы выполнялось условие: 25a² + 20ab + 16b² = (5a ± Bb)².

Чтобы выполнялось условие полного квадрата, 16b² должно быть равно B²b², а 20ab должно быть равно 2 * 5a * Bb, то есть 20ab = 10Bab. Отсюда B = 20/10 = 2.

Тогда B² = 2² = 4.

Получаем трехчлен 25a² + 20ab + 4b² = (5a + 2b)².

Таким образом, задача имеет три решения.