Задание 5. Дана функция у(x) = 2x³-3x²-12x. а) Найдите её стационарные точки (10 баллов). 6) Укажите промежутки монотонности данной функции (10 баллов). в) Найдите точки экстремума функции, укажите их вид (10 баллов).

Ответ: a) x = -1 и x = 2; б) Функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и [2; +∞), убывает на промежутке [-1; 2]; в) x = -1 - точка максимума, x = 2 - точка минимума.

Решение:

а) Найдем стационарные точки:

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[y'(x) = 6x^2 - 6x - 12\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:

\[6x^2 - 6x - 12 = 0\]

• Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

\[x^2 - x - 2 = 0\]

\[(x + 1)(x - 2) = 0\]

\[x_1 = -1, \quad x_2 = 2\]

Стационарные точки: x = -1 и x = 2.

б) Укажем промежутки монотонности:

• Шаг 1: Определяем знаки производной на интервалах, образованных стационарными точками:

• Интервал (-∞; -1): y'(-2) = 6(-2)² - 6(-2) - 12 = 24 > 0 (функция возрастает)
• Интервал (-1; 2): y'(0) = -12 < 0 (функция убывает)
• Интервал (2; +∞): y'(3) = 6(3)² - 6(3) - 12 = 24 > 0 (функция возрастает)

Функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и [2; +∞), убывает на промежутке [-1; 2].

в) Найдем точки экстремума:

• Шаг 1: Определяем вид экстремума по знакам производной:

• В точке x = -1 производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума.
• В точке x = 2 производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума.

Точка максимума: x = -1, точка минимума: x = 2.

Ответ: a) x = -1 и x = 2; б) Функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и [2; +∞), убывает на промежутке [-1; 2]; в) x = -1 - точка максимума, x = 2 - точка минимума.