ЗАДАНИЕ 8 Введите ответ в числовое поле В треугольнике АВС угол C равен 90 градусов, угол В равен 60 градусов, катет АС равен 18 см. Найдите высоту СН, опущенную на гипотенузу АВ. Ответ запишите в сантиметрах.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C — прямой (90 градусов). Также известно, что угол B равен 60 градусам, а катет AC — 18 см.

Наша задача — найти высоту CH, которая опущена на гипотенузу AB. Ответ нужно записать в сантиметрах.

Что мы знаем:

• Треугольник ABC — прямоугольный.
• \[ ∠ C = 90^° \]
• \[ ∠ B = 60^° \]
• \[ AC = 18 \text{ см} \]

Что нужно найти:

• Высоту CH.

Шаг 1: Найдем угол A.

Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам.

\[ ∠ A + ∠ B = 90^° \]

\[ ∠ A = 90^° - ∠ B = 90^° - 60^° = 30^° \]

Итак, угол A равен 30 градусам.

Шаг 2: Найдем гипотенузу AB.

В прямоугольном треугольнике мы можем использовать тригонометрические соотношения. Катет AC является противолежащим для угла B, а также прилежащим для угла A.

Используем синус угла B:

\[ ᵇ ᵏ ∠ B = \frac{AC}{AB} \]

\[ ᵇ ᵏ 60^° = \frac{18}{AB} \]

Значение ᵇ ᵏ 60^° равно √3 / 2. Подставим это значение:

\[ \frac{√3}{2} = \frac{18}{AB} \]

Теперь найдем AB:

\[ AB = \frac{18 \times 2}{√3} = \frac{36}{√3} \]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √3:

\[ AB = \frac{36 \times √3}{√3 \times √3} = \frac{36√3}{3} = 12√3 \text{ см} \]

Шаг 3: Найдем высоту CH.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: ℱ = ½ × AC × BC
2. Через гипотенузу и высоту, опущенную на нее: ℱ = ½ × AB × CH

Сначала найдем катет BC. Используем тангенс угла A:

\[ ᵍ ᵋ ∠ A = \frac{BC}{AC} \]

\[ ᵍ ᵋ 30^° = \frac{BC}{18} \]

Значение ᵍ ᵋ 30^° равно 1 / √3. Подставим:

\[ \frac{1}{√3} = \frac{BC}{18} \]

\[ BC = \frac{18}{√3} = \frac{18√3}{3} = 6√3 \text{ см} \]

Теперь найдем площадь треугольника:

\[ ℱ = ½ × AC × BC = ½ × 18 × 6√3 = 9 × 6√3 = 54√3 \text{ см}^2 \]

Теперь приравняем площади, чтобы найти CH:

\[ ½ × AB × CH = 54√3 \]

\[ ½ × 12√3 × CH = 54√3 \]

\[ 6√3 × CH = 54√3 \]

Разделим обе части на 6√3:

\[ CH = \frac{54√3}{6√3} = 9 \text{ см} \]

Альтернативный способ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол A = 30 градусов, угол C = 90 градусов.

Мы знаем, что ∠ ACB = 90. CH - высота, поэтому ∠ SCH = 90. ∠ BCH = 90 - ∠ B = 90 - 60 = 30. ∠ ACH = 90 - ∠ BCH = 90 - 30 = 60. Или ∠ ACH = 90 - ∠ A = 90 - 30 = 60.

В прямоугольном треугольнике ACH:

\[ ᵇ ᵏ ∠ A = \frac{CH}{AC} \]

\[ ᵇ ᵏ 30^° = \frac{CH}{18} \]

\[ CH = 18 \times ᵇ ᵏ 30^° = 18 \times \frac{1}{2} = 9 \text{ см} \]

Ответ: 9 см.