Задание 8. Вычислите: а) \(4x-\frac{2y+4x^2}{x}\) при \(x=-\frac14,\ y=1,5\); б) \(\frac{\sqrt{22}\cdot\sqrt{33}}{\sqrt6}\); в) \(\frac{54}{(3\sqrt2)^2}\); г) \(\frac{(2\cdot10)^5}{2^2\cdot10^4}\); д) \(\frac1{5^{-8}}\cdot\frac1{5^6}\); е) \(\sqrt{a^2\cdot(-a)^2}\) при \(a=4\); ж) \(\sqrt{36a^2+12ab+b^2}\) при \(a=\frac45,\ b=8\frac15\); з) \((\sqrt{15}-2)^2+4\sqrt{15}\); и) \(\frac{7^4\cdot9^6}{63^4}\); к) \(\sqrt{\frac{16x^4}{y^6}}\) при \(x=4,\ y=2\).

а)

Подставим значения:

\[4x-\frac{2y+4x^2}{x}=4\cdot\left(-\frac14\right)-\frac{2\cdot1,5+4\cdot\left(-\frac14\right)^2}{-\frac14}.\]

\[-1-\frac{3+\frac14}{-\frac14}=-1-(-13)=12.\]

б)

\[\frac{\sqrt{22}\cdot\sqrt{33}}{\sqrt6}=\sqrt{\frac{22\cdot33}{6}}=\sqrt{121}=11.\]

в)

\[\frac{54}{(3\sqrt2)^2}=\frac{54}{9\cdot2}=\frac{54}{18}=3.\]

г)

\[\frac{(2\cdot10)^5}{2^2\cdot10^4}=\frac{2^5\cdot10^5}{2^2\cdot10^4}=2^3\cdot10=80.\]

д)

\[\frac1{5^{-8}}\cdot\frac1{5^6}=5^8\cdot5^{-6}=5^2=25.\]

е)

\[\sqrt{a^2\cdot(-a)^2}=\sqrt{4^2\cdot(-4)^2}=\sqrt{16\cdot16}=16.\]

ж)

Заметим, что \(36a^2+12ab+b^2=(6a+b)^2\). Поэтому:

\[b=8\frac15=\frac{41}{5},\qquad \sqrt{36a^2+12ab+b^2}=|6a+b|.\]

\[\left|6\cdot\frac45+\frac{41}{5}\right|=\left|\frac{24}{5}+\frac{41}{5}\right|=\frac{65}{5}=13.\]

з)

\[(\sqrt{15}-2)^2+4\sqrt{15}=15-4\sqrt{15}+4+4\sqrt{15}=19.\]

и)

\[\frac{7^4\cdot9^6}{63^4}=\frac{7^4\cdot(3^2)^6}{(3^2\cdot7)^4}=\frac{7^4\cdot3^{12}}{3^8\cdot7^4}=3^4=81.\]

к)

\[\sqrt{\frac{16x^4}{y^6}}=\sqrt{\frac{16\cdot4^4}{2^6}}=\sqrt{\frac{16\cdot256}{64}}=\sqrt{64}=8.\]

Ответ: а) 12; б) 11; в) 3; г) 80; д) 25; е) 16; ж) 13; з) 19; и) 81; к) 8.