Задание 8. Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА=5см, АН = 4 см; б) ∠HAO=45°, ОА=4 см; в) ∠HAO=30°, ОА=6 см?

Привет! Давай разберемся, когда прямая является касательной к окружности.

Главное условие касательной: Прямая является касательной к окружности, если она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это значит, что расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности.

В нашей задаче:

• Радиус окружности $$r = 3$$ см.
• АН — перпендикуляр из точки А к прямой, проходящей через центр О. То есть, длина отрезка АН — это расстояние от точки А до прямой.
• Важно: АН — это не обязательно расстояние от центра О до прямой, а расстояние от точки А.
• Нам нужно определить, является ли прямая АН касательной к окружности. Это означает, что расстояние от центра окружности О до прямой АН должно быть равно радиусу (3 см).
• Но задача сформулирована немного иначе: АН — перпендикуляр из точки А к прямой, проходящей через центр О. То есть, точка Н лежит на этой прямой.
• Давайте переформулируем условие: Прямая, содержащая отрезок АН, является касательной к окружности, если расстояние от центра окружности О до этой прямой равно радиусу (3 см).
• В контексте задачи: У нас есть точка А, из которой проведен перпендикуляр АН к прямой, проходящей через центр О. Нас спрашивают, является ли прямая АН касательной к окружности.
• Это значит, что мы должны проверить, равно ли расстояние от центра О до точки Н (где происходит касание) радиусу.
• Точка Н находится на прямой, проходящей через центр О. АН — перпендикуляр к этой прямой.
• Значит, если АН — касательная, то Н должна быть точкой касания, и OH должно быть равно радиусу (3 см).
• И при этом АН должно быть перпендикулярно OH.
• Но по условию, АН перпендикулярно прямой, проходящей через О. АН — это и есть расстояние от точки А до этой прямой.
• Если прямая АН является касательной, то точка касания должна быть на окружности, и радиус, проведенный к этой точке, должен быть перпендикулярен касательной.
• В данной задаче, АН — это перпендикуляр из точки А к прямой, проходящей через центр О.
• Если прямая АН является касательной к окружности, то расстояние от центра окружности О до прямой АН должно быть равно радиусу (3 см).
• Давайте рассмотрим треугольник $$\triangle OHA$$. В нем $$\angle OHA = 90^{\circ}$$.
• а) ОА = 5 см, АН = 4 см, радиус $$r = 3$$ см.
• В прямоугольном $$\triangle OHA$$:
• $$OH^2 + AH^2 = OA^2$$
• $$OH^2 + 4^2 = 5^2$$
• $$OH^2 + 16 = 25$$
• $$OH^2 = 25 - 16 = 9$$
• $$OH = \sqrt{9} = 3$$ см.
• Расстояние от центра О до точки Н равно 3 см. Это равно радиусу окружности ($$r = 3$$ см).
• Следовательно, прямая АН является касательной к окружности.
• б) $$\angle HAO = 45^{\circ}$$, ОА = 4 см, радиус $$r = 3$$ см.
• В прямоугольном $$\triangle OHA$$:
• $$AH = OA \cdot \sin(\angle HAO) = 4 \cdot \sin(45^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ см.
• $$OH = OA \cdot \cos(\angle HAO) = 4 \cdot \cos(45^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ см.
• Расстояние от центра О до точки Н равно $$OH = 2\sqrt{2}$$ см.
• $$2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828$$ см.
• $$2.828$$ см < 3 см.
• Расстояние от центра до точки Н меньше радиуса. Это значит, что точка Н находится внутри окружности. Прямая АН не может быть касательной.
• в) $$\angle HAO = 30^{\circ}$$, ОА = 6 см, радиус $$r = 3$$ см.
• В прямоугольном $$\triangle OHA$$:
• $$AH = OA \cdot \sin(\angle HAO) = 6 \cdot \sin(30^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$ см.
• $$OH = OA \cdot \cos(\angle HAO) = 6 \cdot \cos(30^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ см.
• Расстояние от центра О до точки Н равно $$OH = 3\sqrt{3}$$ см.
• $$3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1.732 = 5.196$$ см.
• $$5.196$$ см > 3 см.
• Расстояние от центра до точки Н больше радиуса. Это значит, что точка Н находится вне окружности. Прямая АН не может быть касательной.

Ответ:

• а) Да, прямая АН является касательной к окружности, так как расстояние от центра О до точки Н ($$OH=3$$ см) равно радиусу окружности ($$r=3$$ см).
• б) Нет, прямая АН не является касательной, так как расстояние от центра О до точки Н ($$OH=2\sqrt{2}\approx 2.83$$ см) меньше радиуса окружности ($$r=3$$ см).
• в) Нет, прямая АН не является касательной, так как расстояние от центра О до точки Н ($$OH=3\sqrt{3}\approx 5.20$$ см) больше радиуса окружности ($$r=3$$ см).