Задание 7. Упростите выражения: а) $\frac{7^{n+1}-7^n}{6}:\left(\frac{4^n}{28^{n-1}}\right)^{-1}$; б) $\frac{2^{-n+1}+2^{-n}}{27^{n+1}}:\left(\frac{3^n}{18^{-n}}\right)^{-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 7. Упростите выражения: а) $\frac{7^{n+1}-7^n}{6}:\left(\frac{4^n}{28^{n-1}}\right)^{-1}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

\[\frac{7^{n+1}-7^n}{6}:\left(\frac{4^n}{28^{n-1}}\right)^{-1}\]

Вынесем $7^n$ за скобки:

\[\frac{7^n(7-1)}{6}:\left(\frac{4^n}{28^{n-1}}\right)^{-1}=7^n\cdot\frac{4^n}{28^{n-1}}.\]

Так как $4^n\cdot7^n=28^n$, получаем:

\[\frac{28^n}{28^{n-1}}=28.\]

б)

\[\frac{2^{-n+1}+2^{-n}}{27^{n+1}}:\left(\frac{3^n}{18^{-n}}\right)^{-1}\]

Вынесем $2^{-n}$ в числителе:

\[\frac{2^{-n}(2+1)}{27^{n+1}}:\left(\frac{3^n}{18^{-n}}\right)^{-1}=\frac{3\cdot2^{-n}}{27^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{18^{-n}}.\]

Поскольку $27^{n+1}=3^{3n+3}$, а $18^{-n}=\frac{1}{18^n}$, имеем:

\[\frac{3\cdot2^{-n}}{3^{3n+3}}\cdot3^n\cdot18^n=\frac{3\cdot2^{-n}}{3^{3n+3}}\cdot3^n\cdot2^n3^n.\]

Сокращаем степени:

\[3^{1+2n-(3n+3)}=3^{-n-2}=\frac{1}{3^{n+2}}.\]

Ответ: а) 28; б) $\frac{1}{3^{n+2}}$.

Задание 7. Упростите выражения: а) \(\frac{7^{n+1}-7^n}{6}:\left(\frac{4^n}{28^{n-1}}\right)^{-1}\); б) \(\frac{2^{-n+1}+2^{-n}}{27^{n+1}}:\left(\frac{3^n}{18^{-n}}\right)^{-1}\).