Задание 7: \(\begin{cases} x^2 + x + 2y = 8 \\ x^2 - x + 5y = 20 \end{cases}\)

Решение:

1. Вычтем второе уравнение из первого:

\((x^2 + x + 2y) - (x^2 - x + 5y) = 8 - 20\)

\(x^2 + x + 2y - x^2 + x - 5y = -12\)

\(2x - 3y = -12\)

Выразим \(x\) через \(y\):

\(2x = 3y - 12\)

\(x = \frac{3y - 12}{2}\)

2. Подставим полученное выражение для \(x\) во второе уравнение:

\(\left(\frac{3y - 12}{2}\right)^2 - \left(\frac{3y - 12}{2}\right) + 5y = 20\)

\(\frac{(3y - 12)^2}{4} - \frac{3y - 12}{2} + 5y = 20\)

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

\((3y - 12)^2 - 2(3y - 12) + 20y = 80\)

\(9y^2 - 72y + 144 - 6y + 24 + 20y = 80\)

\(9y^2 - 58y + 168 = 80\)

\(9y^2 - 58y + 88 = 0\)

3. Решим квадратное уравнение для \(y\) с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 88\)

\(D = 3364 - 3168 = 196\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14\)

4. Найдем значения \(y\):

\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 + 14}{2 \cdot 9} = \frac{72}{18} = 4\)

\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 - 14}{2 \cdot 9} = \frac{44}{18} = \frac{22}{9}\)

5. Подставим найденные значения \(y\) в выражение для \(x = \frac{3y - 12}{2}\):

При \(y_1 = 4\):

\(x_1 = \frac{3 \cdot 4 - 12}{2} = \frac{12 - 12}{2} = 0\)

При \(y_2 = \frac{22}{9}\):

\(x_2 = \frac{3 \cdot \frac{22}{9} - 12}{2} = \frac{\frac{22}{3} - 12}{2} = \frac{\frac{22 - 36}{3}}{2} = \frac{-14/3}{2} = -\frac{7}{3}\)

Ответ: \((0; 4)\) и \((-\frac{7}{3}; \frac{22}{9})\).