Задание 7. ∠AOB = 90°, СВ — диаметр. Докажите, что AC = AB.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализ данных.
   Дано: \( \angle AOB = 90^{\circ} \), CB — диаметр окружности.
   Требуется доказать: \( AC = AB \).
2. Шаг 2: Свойства центрального угла.
   Угол \( \angle AOB \) является центральным углом, опирающимся на дугу AB. Так как \( \angle AOB = 90^{\circ} \), то градусная мера дуги AB также равна \( 90^{\circ} \).
3. Шаг 3: Свойства вписанного угла.
   Угол \( \angle ACB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ} \).
4. Шаг 4: Свойства угла, опирающегося на диаметр.
   Угол \( \angle CAB \) вписан в окружность и опирается на диаметр CB. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен \( 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle CAB = 90^{\circ} \).
5. Шаг 5: Анализ треугольника ABC.
   В треугольнике ABC известны два угла: \( \angle CAB = 90^{\circ} \) и \( \angle ACB = 45^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Найдем третий угол: \( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).
6. Шаг 6: Вывод о равнобедренном треугольнике.
   Так как \( \angle ACB = \angle ABC = 45^{\circ} \), то треугольник ABC является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника (углы при основании равны). Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, \( AC = AB \).

Что и требовалось доказать.