Задание 6. Постройте график уравнения. 1) (9x^2 - y^2 - 2y - 1) / (3x + y + 1) = 0

Решение:

Уравнение задано как \( \frac{9x^2 - y^2 - 2y - 1}{3x + y + 1} = 0 \).

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Числитель равен нулю:

\( 9x^2 - y^2 - 2y - 1 = 0 \)

Выделим полный квадрат для \( y \):

\( 9x^2 - (y^2 + 2y + 1) = 0 \)

\( 9x^2 - (y+1)^2 = 0 \)

Это разность квадратов: \( (3x)^2 - (y+1)^2 = 0 \)

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = 3x \) и \( b = y+1 \):

\( (3x - (y+1))(3x + (y+1)) = 0 \)

\( (3x - y - 1)(3x + y + 1) = 0 \)

Это означает, что либо \( 3x - y - 1 = 0 \), либо \( 3x + y + 1 = 0 \).

2. Знаменатель не равен нулю:

\( 3x + y + 1 \neq 0 \)

3. Объединяем условия:

Из \( (3x - y - 1)(3x + y + 1) = 0 \) следует, что \( 3x - y - 1 = 0 \) или \( 3x + y + 1 = 0 \).

Условие \( 3x + y + 1 \neq 0 \) исключает вторую часть: \( 3x + y + 1 \neq 0 \).

Следовательно, остаётся только первое условие: \( 3x - y - 1 = 0 \), при условии, что \( 3x + y + 1 \neq 0 \).

Преобразуем \( 3x - y - 1 = 0 \) к виду \( y = ... \):

\( y = 3x - 1 \).

Теперь рассмотрим условие \( 3x + y + 1 \neq 0 \) для графика \( y = 3x - 1 \).

Подставим \( y = 3x - 1 \) в \( 3x + y + 1 \neq 0 \):

\( 3x + (3x - 1) + 1 \neq 0 \)

\( 3x + 3x - 1 + 1 \neq 0 \)

\( 6x \neq 0 \)

\( x \neq 0 \).

Таким образом, график уравнения — это прямая \( y = 3x - 1 \) с выколотой точкой при \( x = 0 \).

Найдем координаты выколотой точки:

При \( x = 0 \), \( y = 3(0) - 1 = -1 \). Точка \( (0, -1) \) — выколотая.

Построим график прямой \( y = 3x - 1 \) и отметим выколотую точку.

• При \( x = -2 \): \( y = 3(-2) - 1 = -6 - 1 = -7 \). Точка (-2, -7).
• При \( x = -1 \): \( y = 3(-1) - 1 = -3 - 1 = -4 \). Точка (-1, -4).
• При \( x = 1 \): \( y = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2 \). Точка (1, 2).
• При \( x = 2 \): \( y = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5 \). Точка (2, 5).

Ответ: график уравнения — прямая \( y = 3x - 1 \) с выколотой точкой в \( (0, -1) \).