Задание 6. Найдите значение выражения: \(4\cos^2 60^\circ\cdot\operatorname{ctg}30^\circ\cdot\sin 60^\circ-\sin^2 60^\circ\).

Используем значения тригонометрических функций:

\(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\), \(\operatorname{ctg}30^\circ=\sqrt{3}\), \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

\[4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=1\cdot\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}.\]

Ответ: \(\frac{3}{4}\).