Задание 52. а) Решите уравнение cos2x+0,25=cos²x;

Решение:

• Для решения уравнения \( \cos(2x) + 0.25 = \cos^2(x) \) воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \).
• Подставим эту формулу в уравнение:

\[ 2\cos^2(x) - 1 + 0.25 = \cos^2(x) \]

• Приведем подобные слагаемые:

\[ 2\cos^2(x) - \cos^2(x) = 1 - 0.25 \]

\[ \cos^2(x) = 0.75 \]

• Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ \cos(x) = \pm\sqrt{0.75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \]

• Теперь решим два отдельных уравнения:

1. \( \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Общее решение: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2. \( \cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Общее решение: \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ:

\( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).