Задание 5. Задана функция y = (x² – 4x + 4)(x + 1) / (x – 2) а) Найдите область определения функции (6 баллов). б) Найдите область значений функции (6 баллов). в) Постройте график функции (18 баллов). В решении запишите все необходимые шаги для построения графика функции.

Решение:

Дана функция \( y = \frac{(x^2 - 4x + 4)(x + 1)}{x - 2} \).

а) Область определения функции:

Функция определена там, где знаменатель не равен нулю. Следовательно, \( x - 2 \neq 0 \), что означает \( x \neq 2 \).

Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

б) Область значений функции:

Преобразуем числитель: \( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \).

Тогда функция имеет вид: \( y = \frac{(x - 2)^2 (x + 1)}{x - 2} \).

При \( x \neq 2 \) можно сократить \( (x - 2) \): \( y = (x - 2)(x + 1) \).

Раскроем скобки: \( y = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2 \).

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы. Координата \( x_в \) вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \).

Для \( y = x^2 - x - 2 \): \( a = 1 \), \( b = -1 \).

\( x_в = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \).

Найдем значение \( y \) в вершине: \( y_в = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4} \).

Однако, мы должны учесть, что \( x \neq 2 \). Найдем значение функции в точке \( x=2 \) для параболы \( y = x^2 - x - 2 \):

\( y(2) = 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0 \).

Таким образом, точка \( (2, 0) \) отсутствует на графике. Значение \( y=0 \) не входит в область значений.

Минимальное значение функции — \( -\frac{9}{4} \).

Область значений: \( E(y) = [-\frac{9}{4}; \infty) \setminus \{0\} \).

в) Построение графика функции:

График функции \( y = \frac{(x^2 - 4x + 4)(x + 1)}{x - 2} \) совпадает с графиком параболы \( y = x^2 - x - 2 \), но с выколотой точкой в \( x = 2 \).

1. Определим область определения: \( x \neq 2 \).
2. Преобразуем функцию: \( y = x^2 - x - 2 \) при \( x \neq 2 \).
3. Найдем вершину параболы: \( x_в = \frac{1}{2} \), \( y_в = -\frac{9}{4} \). Координаты вершины: \( (\frac{1}{2}; -\frac{9}{4}) \).
4. Найдем точки пересечения с осями:
   • С осью Oy: при \( x = 0 \), \( y = 0^2 - 0 - 2 = -2 \). Точка \( (0; -2) \).
   • С осью Ox: при \( y = 0 \), \( x^2 - x - 2 = 0 \). \( (x - 2)(x + 1) = 0 \). Корни: \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
5. Выколотая точка: Поскольку \( x \neq 2 \), точка \( (2; 0) \) не принадлежит графику.
6. Построим график: Нарисуем параболу \( y = x^2 - x - 2 \) с вершиной в \( (\frac{1}{2}; -\frac{9}{4}) \), проходящую через точки \( (0; -2) \) и \( (-1; 0) \). Отметим выколотую точку \( (2; 0) \).

Ответ:

а) Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

б) Область значений: \( E(y) = [-\frac{9}{4}; \infty) \setminus \{0\} \).

в) График функции — парабола \( y = x^2 - x - 2 \) с выколотой точкой \( (2; 0) \).