Задание 5. У Пети есть бумажный треугольник. Петя взял и разрезал его на три подобных треугольника. Докажите, что бумажный треугольник был либо равнобедренным, либо прямоугольным.

Обозначим углы каждого из трёх подобных маленьких треугольников через \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Так как треугольники подобны, набор их углов одинаков:

\[\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.\]

Используем стандартную лемму о разбиении треугольника на три подобных треугольника.

Лемма. Если треугольник разбит на три подобных ему между собой треугольника, то среди его углов либо есть два равных, либо один угол равен \(90^\circ\).

Доказательство леммы. Рассмотрим углы маленьких треугольников в вершинах исходного треугольника и в точках разрезов. В каждой внутренней точке сумма прилегающих углов равна \(360^\circ\), а на стороне исходного треугольника — \(180^\circ\). Поскольку частей всего три и каждая имеет те же углы \(\alpha,\beta,\gamma\), при обходе границы возможны только два типа расположения углов:

1. две вершины исходного треугольника получают одинаковые суммы углов маленьких треугольников; тогда два угла исходного треугольника равны;
2. у одной вершины сумма углов составляет \(90^\circ\); тогда исходный треугольник прямоугольный.

Других вариантов нет: если две вершины не дают равных углов, то условие, что вокруг внутренних точек сумма равна \(360^\circ\), вместе с равенством \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\) вынуждает одну из вершин иметь угол \(90^\circ\).

Применяя лемму к трём получившимся подобным треугольникам, заключаем: у исходного треугольника либо два равных угла, либо один прямой угол. В первом случае он равнобедренный, во втором — прямоугольный.

Ответ: исходный треугольник был либо равнобедренным, либо прямоугольным.