Задание №5. Тупой и острый угол образует с положительным направлением оси х касательная к графику функции y = f(x), проведенная в точке с абсциссой x = a, если: a) f(x) = 4 + x², a = 2; б) f(x) = 1 - 1/x, a = 3;

Решение:

Угол наклона касательной к графику функции \( y = f(x) \) определяется значением производной \( f'(x) \) в точке касания. Тангенс угла наклона \( \alpha \) равен производной: \( \text{tg} \alpha = f'(x) \).

Если \( f'(a) > 0 \), то угол \( \alpha \) острый (от 0 до \( 90^{\circ} \)).

Если \( f'(a) < 0 \), то угол \( \alpha \) тупой (от \( 90^{\circ} \) до \( 180^{\circ} \)).

Если \( f'(a) = 0 \), то угол равен \( 0^{\circ} \) или \( 180^{\circ} \).

а) f(x) = 4 + x², a = 2

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (4 + x^2)' = 2x \).
2. Вычислим значение производной в точке \( x = a = 2 \): \( f'(2) = 2 \cdot 2 = 4 \).
3. Так как \( f'(2) = 4 > 0 \), угол наклона касательной острый.

б) f(x) = 1 - 1/x, a = 3

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (1 - x^{-1})' = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2} \).
2. Вычислим значение производной в точке \( x = a = 3 \): \( f'(3) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \).
3. Так как \( f'(3) = \frac{1}{9} > 0 \), угол наклона касательной острый.

Ответ: В обоих случаях (а и б) угол наклона касательной острый.