Задание 5. По рисункам найдите неизвестные стороны x и y.

а) В треугольнике MТ угол M равен 45°, угол Т равен 60°, поэтому угол третьей вершины равен 75°. По теореме синусов: \(\dfrac{y}{\sin 75^\circ}=\dfrac{20}{\sin 60^\circ}\). Следовательно, \(y=20\dfrac{\sin75^\circ}{\sin60^\circ}\approx22.3\) дм.

б) По рисунку угол K равен 60°, угол P равен 45°, поэтому третий угол равен 75°. Данных о длине хотя бы одной стороны недостаточно, поэтому значения \(x\) и \(y\) однозначно определить нельзя.

в) Так как \(CD\) — биссектриса угла C, а \(\angle CDA=15^\circ\), то \(\angle C=30^\circ\). В треугольнике ACD: \(AC=\sqrt3\) м, \(\angle A=15^\circ\), \(\angle C=30^\circ\). По теореме синусов \(x=AD=\sqrt3\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}=\dfrac{3(\sqrt3-1)}{\sqrt2}\approx0.897\) м. В треугольнике BCD данных для нахождения \(y=BC\) недостаточно.

г) В прямоугольном треугольнике RMT: \(RM=6\) м, \(\angle MRT=45^\circ\), поэтому \(RT=6\) м. В треугольнике RST углы R и S равны 45° и 30°, значит \(\angle T=105^\circ\). По теореме синусов: \(\dfrac{x}{\sin45^\circ}=\dfrac{6}{\sin30^\circ}\), откуда \(x=6\sqrt2\) м. Далее \(\dfrac{y}{\sin105^\circ}=\dfrac{6}{\sin30^\circ}\), поэтому \(y=6\sin105^\circ\cdot2=3(\sqrt6+\sqrt2)\) м.

Ответ: а) \(y\approx22.3\) дм; б) данных недостаточно; в) \(x\approx0.897\) м, для \(y\) данных недостаточно; г) \(x=6\sqrt2\) м, \(y=3(\sqrt6+\sqrt2)\) м.