Задание 5 (18 баллов). Стороны AD и BC треугольников ABC и ABD пересекаются в точке E, причём AC = BD, ∠BAC = ∠ABD. Докажите, что треугольники ACE и BDE равны.

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(BAD\).

По условию \(AC=BD\), \(\angle BAC=\angle ABD\). Кроме того, \(AB\) — общая сторона этих треугольников. Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(BAD\) равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда соответствующие углы равны: \(\angle ACB=\angle BDA\). Так как точки \(A,E,D\) лежат на одной прямой, а точки \(B,E,C\) — на одной прямой, то \(\angle ACE=\angle ACB\) и \(\angle BDE=\angle BDA\). Поэтому \(\angle ACE=\angle BDE\).

Углы \(AEC\) и \(BED\) — вертикальные, следовательно, \(\angle AEC=\angle BED\).

Таким образом, в треугольниках \(ACE\) и \(BDE\) равны сторона \(AC=BD\) и два прилежащих к ним угла: \(\angle ACE=\angle BDE\), \(\angle AEC=\angle BED\). Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.

Ответ: \(\triangle ACE=\triangle BDE\).