Задание 43. Вычисление площадей плоских фигур Вариант 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1. y = -x²+9 и у=0. 2. у = х² и у=2x+3. 3. y=1/x, y=0, x=1 и х=5.

Решение:

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y = -x^2 + 9$$ и $$y=0$$.

1. Найдем точки пересечения параболы $$y = -x^2 + 9$$ с осью абсцисс ($$y=0$$):
   $$-x^2 + 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$.
2. Парабола $$y = -x^2 + 9$$ ветвями направлена вниз, её вершина находится в точке $$(0; 9)$$. Осью симметрии является ось $$Oy$$.
3. Площадь фигуры вычисляется по формуле:
   \[ S_1 = \int_{-3}^{3} (-x^2 + 9) dx \]
4. Вычислим интеграл:
   \[ S_1 = \left[ -\frac{x^3}{3} + 9x \right]_{-3}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + 9 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} + 9 \cdot (-3) \right) \]
   \[ S_1 = \left( -\frac{27}{3} + 27 \right) - \left( -\frac{-27}{3} - 27 \right) = (-9 + 27) - (9 - 27) = 18 - (-18) = 36 \]

2. Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y = x^2$$ и $$y = 2x + 3$$.

1. Найдем точки пересечения параболы $$y = x^2$$ и прямой $$y = 2x + 3$$:
   $$x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$$.
2. Решим квадратное уравнение:
• Дискриминант $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$.
• Корни: $$x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$; $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$.
3. Значит, пределы интегрирования от $$-1$$ до $$3$$.
4. На данном интервале прямая $$y = 2x + 3$$ находится выше параболы $$y = x^2$$.
5. Площадь фигуры вычисляется по формуле:
   \[ S_2 = \int_{-1}^{3} ((2x + 3) - x^2) dx \]
6. Вычислим интеграл:
   \[ S_2 = \left[ x^2 + 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{3} = \left( 3^2 + 3 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} \right) - \left( (-1)^2 + 3 \cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) \]
   \[ S_2 = \left( 9 + 9 - \frac{27}{3} \right) - \left( 1 - 3 - \frac{-1}{3} \right) = (18 - 9) - \left( -2 + \frac{1}{3} \right) = 9 - \left( -\frac{6}{3} + \frac{1}{3} \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27}{3} + \frac{5}{3} = \frac{32}{3} \]

3. Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y = 1/x$$, $$y=0$$, $$x=1$$ и $$x=5$$.

1. Данная фигура ограничена гиперболой $$y = 1/x$$, осью абсцисс ($$y=0$$) и вертикальными прямыми $$x=1$$ и $$x=5$$.
2. На интервале $$[1; 5]$$ функция $$y = 1/x$$ положительна.
3. Площадь фигуры вычисляется по формуле:
   \[ S_3 = \int_{1}^{5} \frac{1}{x} dx \]
4. Вычислим интеграл:
   \[ S_3 = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{5} = \ln(5) - \ln(1) \]
5. Так как $$\ln(1) = 0$$, то:
   \[ S_3 = \ln(5) \]

Ответ: 1. $$S_1 = 36$$; 2. $$S_2 = \frac{32}{3}$$; 3. $$S_3 = \ln(5)$$.