Задание 4. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, высота CH равна √19, cos A = 0.9. Найдите AC.

Так как AC = BC, треугольник ABC равнобедренный, поэтому высота CH является также медианой и биссектрисой основания: H — середина AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По определению косинуса:

\(\cos A = \frac{AH}{AC}=0.9=\frac{9}{10}\).

Пусть \(AC=x\). Тогда \(AH=0.9x\), а по теореме Пифагора:

\(CH^2=AC^2-AH^2=x^2-(0.9x)^2=x^2(1-0.81)=0.19x^2\).

Так как \(CH=\sqrt{19}\), получаем:

\(19=0.19x^2=\frac{19}{100}x^2\).

\(x^2=100\), поэтому \(x=10\).

Ответ: \(AC=10\).