Задание 4. С балкона, расположенного на высоте 6 метров над землёй, вертикально вверх бросают мяч с начальной скоростью 10 м/с. Принимая ускорение свободного падения равным 10 м/с² и пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, через какое время после броска мяч достигнет максимальной высоты, на какой высоте от поверхности земли его скорость уменьшится вдвое по сравнению с начальной, сколько времени мяч будет находиться в полёте до падения на землю и какой путь он пройдёт за всё время движения.

Дано: \(h_0=6\) м, \(v_0=10\) м/с, \(g=10\) м/с².

Уравнение движения мяча:

\[h(t)=h_0+v_0t-\frac{gt^2}{2}=6+10t-5t^2.\]

1. Время достижения максимальной высоты.

В наивысшей точке скорость равна нулю:

\[v(t)=v_0-gt=10-10t=0.\]

\[t=1\text{ с}.\]

Максимальная высота:

\[h_{\max}=6+10\cdot1-5\cdot1^2=11\text{ м}.\]

2. Высота, на которой скорость уменьшится вдвое.

Половина начальной скорости равна \(5\) м/с. При движении вверх:

\[v=10-10t=5,\quad t=0.5\text{ с}.\]

Высота в этот момент:

\[h=6+10\cdot0.5-5\cdot0.5^2=6+5-1.25=9.75\text{ м}.\]

3. Время полёта до падения на землю.

При падении на землю \(h=0\):

\[6+10t-5t^2=0.\]

\[5t^2-10t-6=0.\]

\[t=\frac{10+\sqrt{100+120}}{10}=1+\frac{\sqrt{55}}{5}\approx1.48\text{ с}.\]

Отрицательный корень не имеет физического смысла.

4. Путь за всё время движения.

При подъёме мяч проходит:

\[s_1=h_{\max}-h_0=11-6=5\text{ м}.\]

При падении от максимальной высоты до земли:

\[s_2=11\text{ м}.\]

Общий путь:

\[s=s_1+s_2=5+11=16\text{ м}.\]

Ответ: максимальной высоты мяч достигнет через 1 с; максимальная высота — 11 м; скорость уменьшится вдвое на высоте 9,75 м; время полёта — \(1+\frac{\sqrt{55}}5\approx1.48\) с; весь путь — 16 м.