Задание 4. Найдите значение выражения: \(\sqrt{a^2+10ab+25b^2}\) при \(a=1\frac{6}{13}, b=\frac{4}{13}\)

Решение:

1. Упростим выражение под корнем. Заметим, что \(a^2+10ab+25b^2\) — это полный квадрат: \(a^2+10ab+25b^2 = (a+5b)^2\).
2. Тогда \(\sqrt{a^2+10ab+25b^2} = \sqrt{(a+5b)^2} = |a+5b|\).
3. Подставим значения \(a\) и \(b\). Сначала переведём смешанное число \(a\) в неправильную дробь: \(a = 1\frac{6}{13} = \frac{1 \times 13 + 6}{13} = \frac{19}{13}\).
4. Вычислим \(a+5b\): \(\frac{19}{13} + 5 \times \frac{4}{13} = \frac{19}{13} + \frac{20}{13} = \frac{39}{13} = 3\).
5. Так как \(a+5b = 3\), то \(|a+5b| = |3| = 3\).

Ответ: 3