Задание 4. Анализ графа с изолированными вершинами Дан граф: вершины: 1, 2, 3, 4, 5; рёбра: 1-2, 2-3, 3-4. Вопросы: 1. Какие вершины являются изолированными? 2. Найдите степень каждой вершины. 3. Сколько всего рёбер в графе? Проверьте это с помощью суммы степеней вершин. 4. Добавьте одно ребро так, чтобы изолированная вершина 5 стала соединённой. В новом графе посчитайте степени вершин.

Привет! Давай разберем эту задачку по графам вместе.

Условие: У нас есть граф с вершинами 1, 2, 3, 4, 5 и рёбрами 1-2, 2-3, 3-4. Нужно ответить на несколько вопросов.

1. Какие вершины являются изолированными?

Изолированная вершина — это такая вершина, к которой не ведет ни одно ребро, и от которой тоже ни одно ребро не отходит. В нашем случае, вершины 1, 2, 3, 4 соединены рёбрами, а вот вершина 5 — ни с кем не связана.

Ответ: Вершина 5.

2. Найдите степень каждой вершины.

Степень вершины — это количество рёбер, которые к ней подходят (или отходят).

Решение:

• Вершина 1: к ней подходит ребро 1-2. Степень = 1.
• Вершина 2: к ней подходят рёбра 1-2 и 2-3. Степень = 2.
• Вершина 3: к ней подходят рёбра 2-3 и 3-4. Степень = 2.
• Вершина 4: к ней подходит ребро 3-4. Степень = 1.
• Вершина 5: к ней не подходит ни одно ребро. Степень = 0.

Ответ:

• Степень вершины 1: 1
• Степень вершины 2: 2
• Степень вершины 3: 2
• Степень вершины 4: 1
• Степень вершины 5: 0

3. Сколько всего рёбер в графе? Проверьте это с помощью суммы степеней вершин.

В нашем графе есть три ребра: 1-2, 2-3, 3-4.

Проверка по теореме: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер.

Считаем сумму степеней:

\[ 1 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6 \]

Считаем удвоенное количество рёбер:

\[ 2 \times 3 = 6 \]

Суммы совпали! Значит, всё верно.

Ответ: Всего 3 ребра. Сумма степеней вершин (6) равна удвоенному количеству рёбер (6).

4. Добавьте одно ребро так, чтобы изолированная вершина 5 стала соединённой. В новом графе посчитайте степени вершин.

Чтобы вершина 5 стала соединённой, нам нужно добавить ребро, которое будет её соединять с какой-нибудь другой вершиной. Давай соединим её, например, с вершиной 1. Получится ребро 5-1.

Новый граф: вершины: 1, 2, 3, 4, 5; рёбра: 1-2, 2-3, 3-4, 5-1.

Считаем степени вершин в новом графе:

• Вершина 1: теперь к ней подходят рёбра 1-2 и 5-1. Степень = 2.
• Вершина 2: к ней подходят рёбра 1-2 и 2-3. Степень = 2.
• Вершина 3: к ней подходят рёбра 2-3 и 3-4. Степень = 2.
• Вершина 4: к ней подходит ребро 3-4. Степень = 1.
• Вершина 5: теперь к ней подходит ребро 5-1. Степень = 1.

Ответ:

• Степень вершины 1: 2
• Степень вершины 2: 2
• Степень вершины 3: 2
• Степень вершины 4: 1
• Степень вершины 5: 1

Надеюсь, теперь всё понятно! Если что, спрашивай!