Задание 4. а) Постройте график функции \(y=\frac{x^3+3x^2}{x+3}\); б) определите промежутки возрастания и убывания функции, область определения, множество значений.

Разложим числитель на множители:

\[y=\frac{x^3+3x^2}{x+3}=\frac{x^2(x+3)}{x+3}=x^2,\qquad x\ne-3.\]

Следовательно, график — парабола \(y=x^2\), из которой удалена точка, соответствующая \(x=-3\): \((-3;9)\).

Область определения: знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому \(D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)\).

Множество значений функции: для параболы \(y=x^2\) значения неотрицательны. Значение \(y=9\) достигается также при \(x=3\), поэтому удаление точки \((-3;9)\) не исключает это значение. Значит, \(E(y)=[0;+\infty)\).

На промежутке \((-\infty;0)\) функция \(x^2\) убывает, а на \((0;+\infty)\) возрастает. С учётом разрыва в точке \(x=-3\): функция убывает на \((-\infty;-3)\) и \((-3;0)\), возрастает на \((0;+\infty)\).

Ответ: график — \(y=x^2\) с выколотой точкой \((-3;9)\); \(D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)\); \(E(y)=[0;+\infty)\); убывает на \((-\infty;-3)\) и \((-3;0)\), возрастает на \((0;+\infty)\).