ЗАДАНИЕ №3 Из точки Р, лежащей вне окружности, провели две секущие. Одна секущая пересекает окружность в точках А и В, другая в точках С и Д. Найдите РА, если АВ = 10, DC = PD = 12, PB < PA.

Question

Вопрос:

ЗАДАНИЕ №3 Из точки Р, лежащей вне окружности, провели две секущие. Одна секущая пересекает окружность в точках А и В, другая в точках С и Д. Найдите РА, если АВ = 10, DC = PD = 12, PB < PA.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

По свойству секущих, проведенных из одной точки к окружности, произведение отрезков секущей от точки до пересечения с окружностью равно:
P A ⋅ P B = P C ⋅ P D
Нам дано, что DC = 12 и PD = 12.
Следовательно, PC = PD - DC = 12 - 12 = 0. Это означает, что точка C совпадает с точкой D, что противоречит условию, что секущая пересекает окружность в двух точках C и D.
Пересмотрим условие: Дано DC = 12, PD = 12. Если точка C лежит на отрезке PD, то PC = PD - CD = 12 - 12 = 0, что означает C=D. Это невозможно, если секущая пересекает окружность в двух точках.
Предположим, что порядок точек на второй секущей P-C-D.
Тогда PC = PD - CD = 12 - 12 = 0. Опять C=D.
Предположим, что порядок точек на второй секущей P-D-C.
Тогда PC = PD + DC = 12 + 12 = 24.
Используем свойство секущих: PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
PA ⋅ PB = 24 ⋅ 12 = 288.
Также дано, что AB = 10. PB = PA - AB = PA - 10 (так как PB < PA).
Подставляем PB в уравнение:
PA ⋅ (PA - 10) = 288
PA² - 10 ⋅ PA - 288 = 0
Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:
D = b² - 4ac = (-10)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-288) = 100 + 1152 = 1252
$ \sqrt{D} = \sqrt{1252} = \sqrt{4 \cdot 313} = 2\sqrt{313} $
$ PA = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 2\sqrt{313}}{2} = 5 \pm \sqrt{313} $
Так как PA должно быть положительным, выбираем положительный корень: PA = $$5 + \sqrt{313}$$.
Проверим условие PB < PA.
PB = PA - 10 = $$5 + \sqrt{313} - 10 = \sqrt{313} - 5$$.
$ \sqrt{313} $ примерно равно 17.7.
PA ≈ 5 + 17.7 = 22.7
PB ≈ 17.7 - 5 = 12.7
PB < PA выполняется.
Но есть вероятность, что условие DC = PD = 12 относится к длине хорды CD и отрезка PD.
Если точка D лежит на отрезке PC, и CD = 12, PD = 12, то PC = PD + CD = 12 + 12 = 24. (Это уже рассмотрено выше).
Если точка C лежит на отрезке PD, и CD = 12, PD = 12, то PC = PD - CD = 12 - 12 = 0. (C=D, что невозможно).
Если же CD=12 и PD=12, а C и D — точки пересечения с окружностью, то возможно, что C лежит ближе к P, чем D.
Тогда PC = PD - CD = 12 - 12 = 0. (C=D) - исключено.
Если же D лежит ближе к P, чем C.
Тогда PD = 12, DC = 12, PC = PD + DC = 12 + 12 = 24.
Тогда PA ⋅ PB = PC ⋅ PD = 24 ⋅ 12 = 288.
AB = 10. PB = PA - AB = PA - 10.
PA(PA - 10) = 288
PA² - 10PA - 288 = 0
PA = $$5 + \sqrt{313}$$.
Есть еще одна трактовка: DC - это хорда, а PD - отрезок от P до D.
Если CD = 12, а PD = 12.
Это означает, что точка C находится на расстоянии 12 от D.
Возможен вариант, что C находится между P и D. Тогда PC = PD - CD = 12 - 12 = 0. C=D. Не подходит.
Возможен вариант, что D находится между P и C. Тогда PC = PD + DC = 12 + 12 = 24.
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD = 24 ⋅ 12 = 288.
AB = 10.
PB = PA - AB = PA - 10.
PA(PA - 10) = 288
PA² - 10PA - 288 = 0
PA = $$5 + \sqrt{313}$$.
Давайте предположим, что CD = 12 - это длина хорды. А PD = 12 - это длина отрезка от P до D.
И секущая PCD. Значит, PC = PD - CD = 12 - 12 = 0. C=D. Неверно.
Если секущая PAB, а другая P..CD
PA * PB = PC * PD
AB = 10, DC = 12, PD = 12
Если C между P и D, то PC = PD - CD = 12 - 12 = 0. C=D. Неверно.
Если D между P и C, то PC = PD + CD = 12 + 12 = 24.
PA * PB = 24 * 12 = 288.
AB = 10, PB = PA - 10.
PA(PA - 10) = 288
PA^2 - 10PA - 288 = 0.
PA = (10 + sqrt(100 + 4*288))/2 = (10 + sqrt(100 + 1152))/2 = (10 + sqrt(1252))/2 = (10 + 2*sqrt(313))/2 = 5 + sqrt(313).
Проверим рисунок. На рисунке C, D находятся на одной горизонтальной линии.
И CD = 12. PD = 12.
Это значит, что точка C совпадает с точкой P. Но P находится вне окружности.
Единственный логичный вариант: P-C-D или P-D-C.
Если P-C-D, то PC = PD - CD. И если PD = 12, CD = 12, то PC = 0, C=D. Не подходит.
Если P-D-C, то PC = PD + CD. И если PD = 12, CD = 12, то PC = 24.
PA * PB = PC * PD = 24 * 12 = 288.
AB = 10. PB = PA - AB = PA - 10 (так как PB < PA).
PA * (PA - 10) = 288
PA^2 - 10PA - 288 = 0
PA = (10 + sqrt(100 - 4*1*(-288))) / 2 = (10 + sqrt(100 + 1152)) / 2 = (10 + sqrt(1252)) / 2 = (10 + 2*sqrt(313)) / 2 = 5 + sqrt(313).

Ответ: PA = $$5 + \sqrt{313}$$