ЗАДАНИЕ №3 Из точки A вне окружности проведены секущая и касательная. Секущая пересекает окружность в точках C и D (D между А и C), касательная касается окружности в точке B. Найдите градусную меру угла ABD, если ~BD: ~BC = 5 : 9. ∠BAC = 32°

Решение:

Обозначим дуги как \( \overset{\LARGE{\frown}}{BD} = 5x \) и \( \overset{\LARGE{\frown}}{BC} = 9x \).

Угол \( \angle BAC \) является углом между секущей и касательной, поэтому он равен половине разности дуг, которые он заключает:

\( \angle BAC = \frac{1}{2} (\overset{\LARGE{\frown}}{BC} - \overset{\LARGE{\frown}}{BD}) \)

Подставим известные значения:

\( 32° = \frac{1}{2} (9x - 5x) \)

\( 32° = \frac{1}{2} (4x) \)

\( 32° = 2x \)

\( x = 16° \)

Теперь найдем градусные меры дуг:

\( \overset{\LARGE{\frown}}{BD} = 5x = 5 \cdot 16° = 80° \)

\( \overset{\LARGE{\frown}}{BC} = 9x = 9 \cdot 16° = 144° \)

Угол \( \angle ABD \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( \overset{\LARGE{\frown}}{AD} \). Найдем градусную меру дуги \( \overset{\LARGE{\frown}}{AD} \).

Общая градусная мера окружности равна 360°.

\( \overset{\LARGE{\frown}}{AD} = 360° - \overset{\LARGE{\frown}}{BD} - \overset{\LARGE{\frown}}{BC} = 360° - 80° - 144° = 136° \)

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

\( \angle ABD = \frac{1}{2} \overset{\LARGE{\frown}}{AD} \)

\( \angle ABD = \frac{1}{2} \cdot 136° \)

\( \angle ABD = 68° \)