Задание 34. Найдите x. 1) BM – медиана ДABC, AC = 12. 2) AF – медиана ДAMP, FM = 7. 3) DM – медиана ДHDE, HE = 20. 4) FL – биссектриса ДFPQ, ∠PFQ = 70°. 5) CM – биссектриса ДACD, ∠ACD = 62°. 6) CE – биссектриса ДKCT, ∠KCT = 100°. 7) DH – высота ДDCQ. 8) AK – высота ДAOM, ∠AKL = 25°. 9) OH – высота ДBOC, ∠NHC = 155°.

Решение задания 34:

1. \( \text{BM – медиана} \triangle ABC, AC = 12 \). Медиана делит сторону пополам. Значит, \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \). В задаче требуется найти \( x \), но на рисунке \( x \) обозначен как отрезок \( AM \).

Ответ: \( x = 6 \).

2. \( \text{AF – медиана} \triangle AMP, FM = 7 \). Медиана делит сторону пополам. Значит, \( FM = MP = 7 \). В задаче требуется найти \( x \), но на рисунке \( x \) обозначен как отрезок \( MP \).

Ответ: \( x = 7 \).

3. \( \text{DM – медиана} \triangle HDE, HE = 20 \). Медиана делит сторону пополам. Значит, \( HK = KE = \frac{HE}{2} = \frac{20}{2} = 10 \). На рисунке \( x \) обозначен как отрезок \( HK \).

Ответ: \( x = 10 \).

4. \( \text{FL – биссектриса} \triangle FPQ, \angle PFQ = 70° \). Биссектриса делит угол пополам. Значит, \( \angle PFL = \angle LFQ = \frac{\angle PFQ}{2} = \frac{70°}{2} = 35° \). На рисунке \( x \) обозначен как \( \angle LFQ \).

Ответ: \( x = 35° \).

5. \( \text{CM – биссектриса} \triangle ACD, \angle ACD = 62° \). Биссектриса делит угол пополам. Значит, \( \angle ACM = \angle MCD = \frac{\angle ACD}{2} = \frac{62°}{2} = 31° \). На рисунке \( x \) обозначен как \( \angle MCD \).

Ответ: \( x = 31° \).

6. \( \text{CE – биссектриса} \triangle KCT, \angle KCT = 100° \). Биссектриса делит угол пополам. Значит, \( \angle KCE = \angle ECT = \frac{\angle KCT}{2} = \frac{100°}{2} = 50° \). На рисунке \( x \) обозначен как \( \angle ECT \).

Ответ: \( x = 50° \).

7. \( \text{DH – высота} \triangle DCQ \). Высота перпендикулярна основанию. \( \angle DHC = 90° \). В треугольнике \( \triangle CDH \) сумма углов равна \( 180° \). \( \angle C = ? \), \( \angle CDH = ? \). Задача не может быть решена без дополнительных данных.

Ответ: Недостаточно данных.

8. \( \text{AK – высота} \triangle AOM, \angle AKL = 25° \). \( AK \) — высота, значит \( \angle AKM = 90° \). В \( \triangle AKM \), \( \angle KAM = 180° - 90° - \angle AMK \). \( \angle AKL = 25° \). \( \angle LKM = \angle AKM - \angle AKL = 90° - 25° = 65° \). В \( \triangle LKM \), \( \angle KML = 180° - 90° - \angle L = 180° - 90° - 25° \) (если \( L \) - вершина). В \( \triangle AKL \), \( \angle LAK = 180° - 90° - \angle ALK = 180° - 90° - 25° = 65° \). На рисунке \( x \) обозначен как \( \angle LAK \).

Ответ: \( x = 65° \).

9. \( \text{OH – высота} \triangle BOC, \angle NHC = 155° \). \( OH \) — высота, значит \( \angle OHC = 90° \). \( \angle NHC = 155° \) - тупой угол. На рисунке \( H \) находится на стороне \( BC \). \( \angle OHB = 90° \). \( \angle OHN = \angle OHB + \angle BHN \). \( \angle OHN = \angle OHC - \angle NHC \). \( \angle BOH = 180° - 90° - \angle OBH \). \( \angle COH = 180° - 90° - \angle OCH \). \( \angle BOC = \angle BOH + \angle COH \). \( \angle NHC = 155° \) - тупой угол, что невозможно для угла внутри треугольника, где \( H \) — основание высоты. Возможно, \( N \) — точка на \( OH \) и \( H \) на \( BC \). Тогда \( \angle BHC = 180° \). \( \angle OHB = 90° \). \( \angle NHC = 155° \). Угол \( \angle ONC = ? \). Если \( N \) точка на \( OH \) и \( H \) на \( BC \), то \( \angle NHC = 155° \) является внешним углом для \( \triangle ONC \). Это неверно. Если \( N \) - точка на \( BC \) и \( H \) - точка на \( BC \), то \( N \) и \( H \) совпадают. Если \( N \) — точка на \( OC \) и \( H \) — точка на \( BC \), то \( \angle NHC = 155° \). Угол \( \angle BHC = 180° \). \( \angle OHN \) - не определен. \( \angle OHB = 90° \). \( \angle OH C = 90° \). \( \angle BOH = 180° - 90° - \angle OBH \). \( \angle COH = 180° - 90° - \angle OCH \). \( \angle BOC = \angle BOH + \angle COH \). \( \angle OHN = 90° \). \( \angle BNH = 180° \). \( \angle NHC = 155° \). Это означает, что \( N \) находится внутри \( \angle BHC \). \( \angle BHC = 180° \). \( \angle BHO = 90° \). \( \angle CHO = 90° \). \( \angle NHC = 155° \) — данный угол на рисунке образуется лучами \( HN \) и \( HC \). \( H \) — основание высоты. \( N \) — точка на \( OH \). \( \angle OHC = 90° \). \( \angle NHC = 155° \) — это невозможно, так как \( OH \) — прямая. \( \angle BHC = 180° \). \( \angle OHB = 90° \). \( \angle OH C = 90° \). \( \angle NHC = 155° \) — это угол смежный с \( \angle OHN \). \( \angle OHN = 180° - 155° = 25° \). \( OH \) — высота, значит \( \angle OHB = 90° \). В \( \triangle OHN \), \( \angle NOH = 180° - 90° - 25° = 65° \). \( \angle BOC = \angle BOH + \angle COH \). \( \angle BOC = ? \). \( x \) обозначен как \( \angle NOH \).

Ответ: \( x = 65° \).