Задание 30. Найдите наименьшее значение функции: 1) y=e^(2x)−2e^x+8 на отрезке [−2; 1]; 2) y=e^(2x)−4e^x−5 на отрезке [−1; 2]; 3) y=e^(2x)−8e^x+9 на отрезке [0; 2]; 4) y=e^(2x)−6e^x−1 на отрезке [1; 2].

Положим \(t=e^x\), тогда \(t>0\), а функции становятся квадратными трёхчленами.

1. \(y=t^2-2t+8=(t-1)^2+7\). При \(x=0\) имеем \(t=1\), и точка принадлежит отрезку. Поэтому \(y_{\min}=7\).
2. \(y=t^2-4t-5=(t-2)^2-9\). Минимум достигается при \(t=2\), то есть при \(x=\ln2\in[-1;2]\). Поэтому \(y_{\min}=-9\).
3. \(y=t^2-8t+9=(t-4)^2-7\). Минимум достигается при \(t=4\), то есть при \(x=\ln4\in[0;2]\). Поэтому \(y_{\min}=-7\).
4. \(y=t^2-6t-1=(t-3)^2-10\). Минимум достигается при \(t=3\), то есть при \(x=\ln3\in[1;2]\). Поэтому \(y_{\min}=-10\).

Ответ: 1) 7; 2) −9; 3) −7; 4) −10.