Задание 3. Вычислите значения выражений, используя тригонометрическую окружность. 1 вариант: $$8\sin^2\frac{\pi}{6} - \cos\frac{2\pi}{3} + \text{tg}\frac{4\pi}{3}$$ 2 вариант: $$3\sin\frac{\pi}{6} + 2\cos\pi + \text{ctg}^2\frac{\pi}{6}$$ 3 вариант: $$3\text{tg}\frac{\pi}{4} - \sin^2\frac{\pi}{3} + \cos^2\frac{\pi}{6}$$

1 вариант:

1. Вычислим значения тригонометрических функций:
• \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)
• \(\cos\frac{2\pi}{3} = \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}\)
• \(\text{tg}\frac{4\pi}{3} = \text{tg}(240^{\circ}) = \text{tg}(60^{\circ}) = \sqrt{3}\)
2. Подставим значения в выражение:
• \(8\sin^2\frac{\pi}{6} - \cos\frac{2\pi}{3} + \text{tg}\frac{4\pi}{3} = 8\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + \sqrt{3}\)
• \(= 8\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} + \sqrt{3}\)
• \(= 2 + \frac{1}{2} + \sqrt{3}\)
• \(= \frac{5}{2} + \sqrt{3}\)

Ответ: \(\frac{5}{2} + \sqrt{3}\)

2 вариант:

1. Вычислим значения тригонометрических функций:
• \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)
• \(\cos\pi = -1\)
• \(\text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}\)
2. Подставим значения в выражение:
• \(3\sin\frac{\pi}{6} + 2\cos\pi + \text{ctg}^2\frac{\pi}{6} = 3\left(\frac{1}{2}\right) + 2(-1) + (\sqrt{3})^2\)
• \(= \frac{3}{2} - 2 + 3\)
• \(= \frac{3}{2} + 1\)
• \(= \frac{5}{2}\)

Ответ: \(\frac{5}{2}\)

3 вариант:

1. Вычислим значения тригонометрических функций:
• \(\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1\)
• \(\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
2. Подставим значения в выражение:
• \(3\text{tg}\frac{\pi}{4} - \sin^2\frac{\pi}{3} + \cos^2\frac{\pi}{6} = 3(1) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\)
• \(= 3 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\)
• \(= 3\)

Ответ: 3