Задание 3. Вычислите значения выражений, используя тригонометрическую окружность.

Решение:

Необходимо вычислить значения тригонометрических выражений для каждого варианта.

1 вариант

\( 8 \sin^2 \frac{\pi}{6} - \cos \frac{2\pi}{3} + \text{tg} \frac{4\pi}{3} \)

1. \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), значит \( \sin^2 \frac{\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)
2. \( \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \)
3. \( \text{tg} \frac{4\pi}{3} = \text{tg} (\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \)
4. Подставляем значения: \( 8 \cdot \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) + \sqrt{3} = 2 + \frac{1}{2} + \sqrt{3} = 2.5 + \sqrt{3} \)

2 вариант

\( 3 \sin \frac{\pi}{6} + 2 \cos \pi + \text{ctg}^2 \frac{\pi}{6} \)

1. \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)
2. \( \cos \pi = -1 \)
3. \( \text{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \), значит \( \text{ctg}^2 \frac{\pi}{6} = (\sqrt{3})^2 = 3 \)
4. Подставляем значения: \( 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (-1) + 3 = \frac{3}{2} - 2 + 3 = 1.5 + 1 = 2.5 \)

3 вариант

\( 3 \text{tg} \frac{\pi}{4} - \sin^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{6} \)

1. \( \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \)
2. \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( \sin^2 \frac{\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} \)
3. \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( \cos^2 \frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} \)
4. Подставляем значения: \( 3 \cdot 1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 3 \)

Ответ: 1 вариант: \( 2.5 + \sqrt{3} \); 2 вариант: \( 2.5 \); 3 вариант: \( 3 \).