Контрольные задания > Задание 3. В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон АВ, ВС и СА в точках D, Е и F соответственно. Известно, что OC = 2√2
Вопрос:

Задание 3. В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон АВ, ВС и СА в точках D, Е и F соответственно. Известно, что OC = 2√2

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Дано:

  • ΔABC - прямоугольный (Σ C = 90°).
  • Вписанная окружность с центром О.
  • Точки касания: D на AB, E на BC, F на AC.
  • OC = 2√2.

Найти:

  • Радиус окружности (r).
  • Площадь ΔABC \(S_{\triangle ABC}\).
  • Периметр ΔABC \(P_{\triangle ABC}\).

Решение:

  1. Свойства вписанной окружности:
    • Центр вписанной окружности (O) равноудален от сторон треугольника. Расстояние до сторон равно радиусу (r).
    • OF ⊥ AC, OE ⊥ BC, OD ⊥ AB.
    • OF = OE = OD = r.
    • Четырехугольник OFCE является квадратом, так как Σ C = 90°, Σ OFC = 90°, Σ OEC = 90°, и OF = OE = r.
    • Следовательно, CF = CE = r.
  2. Рассмотрим ΔOEC:
    • Это прямоугольный треугольник (Σ OEC = 90°).
    • OC - гипотенуза.
    • OE = r, EC = r.
    • По теореме Пифагора: OC² = OE² + EC²
    • (2√2)² = r² + r²
    • 4 * 2 = 2r²
    • 8 = 2r²
    • r² = 4
    • r = 2.
    • Итак, радиус вписанной окружности равен 2.
    • CF = CE = 2.
  3. Найдем стороны ΔABC:
    • Пусть AC = b, BC = a, AB = c.
    • AF = AD, BE = BD, CE = CF.
    • Мы знаем CE = CF = r = 2.
    • Значит, AC = AF + FC = AF + 2.
    • BC = BE + EC = BE + 2.
    • AB = AD + DB = AF + BE.
    • Периметр P = a + b + c = (BE + 2) + (AF + 2) + (AF + BE) = 2AF + 2BE + 4.
    • Площадь S = (1/2) * a * b = (1/2) * (BE + 2) * (AF + 2).
    • Связь радиуса с площадью и периметром:
    • S = r * P / 2
    • (1/2) * (BE + 2) * (AF + 2) = 2 * (2AF + 2BE + 4) / 2
    • (1/2) * (BE + 2) * (AF + 2) = 2AF + 2BE + 4
    • Также используем теорему Пифагора для ΔABC:
    • c² = a² + b²
    • (AF + BE)² = (BE + 2)² + (AF + 2)²
    • AF² + 2*AF*BE + BE² = BE² + 4*BE + 4 + AF² + 4*AF + 4
    • 2*AF*BE = 4*BE + 4*AF + 8
    • AF*BE = 2*BE + 2*AF + 4
    • AF*BE - 2*AF - 2*BE = 4
    • AF(BE - 2) - 2*BE = 4
    • AF(BE - 2) = 4 + 2*BE
    • AF = (4 + 2*BE) / (BE - 2)
    • Или наоборот:
    • BE = (4 + 2*AF) / (AF - 2)
    • Без дополнительных данных (например, угла или одной из сторон) мы не можем найти AF и BE.
    • Если предположить, что ΔABC - равнобедренный (ΔABC - равносторонний не может быть, так как угол C = 90°), то AC = BC.
    • AF + 2 = BE + 2 => AF = BE.
    • В этом случае:
    • AF² = 2*AF + 2*AF + 4
    • AF² = 4*AF + 4
    • AF² - 4*AF - 4 = 0
    • По теореме Виета: AF = (4 ± √(16 - 4*1*(-4))) / 2 = (4 ± √(16 + 16)) / 2 = (4 ± √32) / 2 = (4 ± 4√2) / 2 = 2 ± 2√2.
    • Так как AF > 0, то AF = 2 + 2√2.
    • Тогда BE = 2 + 2√2.
    • AC = AF + 2 = 2 + 2√2 + 2 = 4 + 2√2.
    • BC = BE + 2 = 2 + 2√2 + 2 = 4 + 2√2.
    • AB = AF + BE = (2 + 2√2) + (2 + 2√2) = 4 + 4√2.
    • Периметр P = 2 * (4 + 2√2) + (4 + 4√2) = 8 + 4√2 + 4 + 4√2 = 12 + 8√2.
    • Площадь S = (1/2) * (4 + 2√2) * (4 + 2√2) = (1/2) * (4 + 2√2)² = (1/2) * (16 + 2*4*2√2 + (2√2)²) = (1/2) * (16 + 16√2 + 8) = (1/2) * (24 + 16√2) = 12 + 8√2.
    • Проверим S = r * P / 2
    • 12 + 8√2 = 2 * (12 + 8√2) / 2
    • 12 + 8√2 = 12 + 8√2. (Верно)

    Если ΔABC - равнобедренный, то:

    • Радиус окружности r = 2.
    • Стороны:
    • AC = BC = 4 + 2√2.
    • AB = 4 + 4√2.
    • Площадь S = 12 + 8√2.
    • Периметр P = 12 + 8√2.

    Вопрос: Какое значение нужно найти? (в тексте задания есть только "Известно, что OC = 2√2", нет конкретного вопроса).

    Предполагая, что нужно найти радиус окружности:

    Ответ: 2

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие