ЗАДАНИЕ №3: В параллелограмме MNKP MT – биссектриса угла NMP, PT – биссектриса угла MPK, MN = 9 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме MNKP:

• MT – биссектриса ∠NMP.
• PT – биссектриса ∠MPK.
• MN = 9 см.
• Периметр параллелограмма = 2 * (MN + MP).

Свойства биссектрисы и параллелограмма:

• Биссектриса делит угол пополам.
• В параллелограмме противоположные стороны равны (MN = KP, MP = NK).
• В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• Углы ∠NMP и ∠MPK являются смежными, так как образуют угол ∠NKP, который равен 180° (прилежащие углы к стороне NP).
• Следовательно, ∠NMP + ∠MPK = 180°.
• Так как MT – биссектриса ∠NMP, то ∠NMT = ∠TNP = ∠NMP / 2.
• Так как PT – биссектриса ∠MPK, то ∠MPT = ∠TPK = ∠MPK / 2.
• Рассмотрим треугольник MPT.
• Угол ∠MPT = ∠MPK / 2.
• Угол ∠NMP и ∠MPK являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых MN || KP и секущей MP, поэтому их сумма равна 180°.
• ∠NMP + ∠MPK = 180°.
• Следовательно, ∠NMT + ∠MPT = (∠NMP / 2) + (∠MPK / 2) = (∠NMP + ∠MPK) / 2 = 180° / 2 = 90°.
• В треугольнике MPT, сумма углов ∠NMT + ∠MPT = 90°.
• Следовательно, третий угол треугольника MPT (∠MTP) равен 180° - 90° = 90°.
• Таким образом, треугольник MPT – прямоугольный.
• Рассмотрим углы ∠NMT и ∠NMP. MT – биссектриса.
• Рассмотрим углы ∠TPM и ∠MPK. PT – биссектриса.
• Углы ∠NMT и ∠MPT являются накрест лежащими при параллельных прямых MN || KP и секущей MP.
• ∠NMT = ∠MPT.
• Но мы знаем, что MT и PT – биссектрисы, поэтому ∠NMT = ∠NMP / 2 и ∠MPT = ∠MPK / 2.
• Таким образом, ∠NMP / 2 = ∠MPK / 2, что означает ∠NMP = ∠MPK.
• Это возможно только если параллелограмм является прямоугольником.
• Однако, MT и PT являются биссектрисами смежных углов, сумма которых 180°.
• ∠NMT = ∠NMP/2.
• ∠TPM = ∠MPK/2.
• Угол ∠NMP и ∠MPK - односторонние углы при параллельных MN и KP, и секущей MP. Их сумма равна 180°.
• ∠NMP + ∠MPK = 180°.
• ∠NMT + ∠TPM = ∠NMP/2 + ∠MPK/2 = (∠NMP + ∠MPK)/2 = 180°/2 = 90°.
• В треугольнике MPT, ∠MTP = 180° - (∠NMT + ∠TPM) = 180° - 90° = 90°.
• Рассмотрим треугольник MNT. Угол ∠NMT = ∠NMP/2.
• Так как MN || KP, то ∠NMK + ∠MKP = 180°.
• Рассмотрим треугольник NMT. Угол ∠NMT = ∠NMP/2.
• Рассмотрим треугольник MPT. Угол ∠TPM = ∠MPK/2.
• Углы ∠NMT и ∠MPT являются накрест лежащими при MN || KP и секущей MP.
• Значит, ∠NMT = ∠TPM.
• ∠NMP/2 = ∠MPK/2.
• ∠NMP = ∠MPK.
• Это означает, что все углы параллелограмма равны, то есть MNKP – прямоугольник.
• В прямоугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки.
• Рассмотрим треугольник MPT. ∠TPM = ∠MPK/2.
• Угол ∠NMT и ∠TPM являются накрест лежащими при MN || KP и секущей MP.
• ∠NMT = ∠TPM.
• ∠NMP/2 = ∠MPK/2.
• ∠NMP = ∠MPK.
• Это значит, что MNKP – прямоугольник.
• В прямоугольнике MNKP, ∠NMP = ∠MPK = 90°.
• MT – биссектриса ∠NMP, значит ∠NMT = ∠TMP = 90°/2 = 45°.
• PT – биссектриса ∠MPK, значит ∠MPT = ∠TPK = 90°/2 = 45°.
• В треугольнике MPT, ∠MPT = 45°.
• Угол ∠NMT = ∠NMP/2.
• Угол ∠TPM = ∠MPK/2.
• Углы ∠NMT и ∠TPM – накрест лежащие при MN || KP и секущей MP.
• ∠NMT = ∠TPM.
• ∠NMP/2 = ∠MPK/2.
• ∠NMP = ∠MPK.
• Это означает, что MNKP – прямоугольник.
• В прямоугольнике MNKP, ∠NMP = ∠MPK = 90°.
• MT – биссектриса ∠NMP, значит ∠NMT = 45°.
• PT – биссектриса ∠MPK, значит ∠MPT = 45°.
• В треугольнике MNT: ∠NMT = 45°. Угол ∠MNT = ∠MNK (угол параллелограмма).
• Рассмотрим треугольник MTP. ∠MPT = 45°. ∠MTP = 90° (как было показано выше).
• Следовательно, ∠TMP = 180° - 90° - 45° = 45°.
• Значит, треугольник MPT – равнобедренный с MP = PT.
• Рассмотрим треугольник NMT. ∠NMT = ∠NMP/2.
• Угол ∠NMT и ∠MTN являются накрест лежащими при MN || TK и секущей MT.
• ∠NMT = ∠MTK.
• Если MT – биссектриса ∠NMP, то ∠NMT = ∠TMP.
• Углы ∠NMT и ∠MTN являются накрест лежащими при MN || TK и секущей MT.
• ∠NMT = ∠MTN.
• Значит, треугольник MNT – равнобедренный с MN = NT.
• Так как MN = 9 см, то NT = 9 см.
• Рассмотрим треугольник MPT. ∠MPT = ∠MPK/2.
• Углы ∠TPM и ∠MPT являются накрест лежащими при MT || KP и секущей PT.
• ∠TPM = ∠MPT.
• Значит, PT – биссектриса ∠MPK.
• Углы ∠TPM и ∠MPT являются накрест лежащими при MN || KP и секущей MP.
• ∠TPM = ∠NMP.
• ∠MPK/2 = ∠NMP.
• Это неверно.
• Вернемся к тому, что ∠NMT = ∠TPM (накрест лежащие при MN || KP и секущей MP).
• Так как MT – биссектриса ∠NMP, то ∠NMT = ∠TMP.
• Так как PT – биссектриса ∠MPK, то ∠TPM = ∠TPK.
• Следовательно, ∠TMP = ∠TPM.
• Это означает, что треугольник MPT – равнобедренный с MT = PT.
• Также, ∠NMT = ∠TPM.
• Углы ∠NMT и ∠MTN являются накрест лежащими при MN || TK и секущей MT.
• ∠NMT = ∠MTN.
• Следовательно, треугольник MNT – равнобедренный с MN = NT.
• Так как MN = 9 см, то NT = 9 см.
• Аналогично, рассмотрим углы ∠TPM и ∠KPT. PT – биссектриса ∠MPK.
• Углы ∠TPM и ∠KPT равны ∠MPK/2.
• Рассмотрим треугольник PTK. Угол ∠KPT = ∠MPK/2.
• Углы ∠KPT и ∠PTM являются накрест лежащими при KP || MT и секущей PT.
• ∠KPT = ∠PTM.
• Следовательно, треугольник PTK – равнобедренный с KP = TK.
• Так как MNKP – параллелограмм, MN = KP = 9 см.
• Следовательно, TK = 9 см.
• Теперь найдем длину стороны MP.
• T – точка на стороне NK.
• NK = NT + TK.
• NK = 9 + 9 = 18 см.
• Так как MNKP – параллелограмм, MP = NK.
• Следовательно, MP = 18 см.
• Периметр параллелограмма MNKP = 2 * (MN + MP) = 2 * (9 + 18) = 2 * 27 = 54 см.

Ответ: 54 см