Задание 3. Отрезок АВ — диаметр окружности, а AM и BM — равные хорды. Найдите ∠МОВ.

Анализ задачи:

• Дано: AB — диаметр окружности.
• AM = BM (равные хорды).
• Найти: ∠MOB.

Решение:

1. Свойства равных хорд: Равные хорды удалены на одинаковом расстоянии от центра окружности.
2. Связь с центром: Так как AM = BM, то расстояние от центра O до хорды AM равно расстоянию от центра O до хорды BM.
3. Радиусы: OA, OB, OM — радиусы окружности.
4. Треугольник AOB: Треугольник AOB является равнобедренным (OA = OB = радиус), и так как AB — диаметр, угол ∠AOB = 180°.
5. Треугольник AOM и BOM: Рассмотрим треугольники AOM и BOM.
• OA = OB = OM (радиусы).
• AM = BM (дано).
• Треугольники AOM и BOM равны по трем сторонам (по признаку равенства треугольников).
6. Равенство углов: Из равенства треугольников AOM и BOM следует, что ∠AOM = ∠BOM.
7. Угол AOB: Угол ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
8. Вычисление: Так как ∠AOM = ∠BOM, то ∠BOM = ∠AOB / 2.
9. Значение: Угол ∠AOB является развернутым углом, равным 180°.
10. Результат: ∠BOM = 180° / 2 = 90°.

Ответ: 90°