Задание 3: От куба отрезали угол. 1) Сколько граней у получившегося многогранника? Сколько у него вершин? Сколько рёбер? Сколько граней на данном рисунке не видно? А сколько вершин?

Решение:

1. Изначально куб имеет:
   • 6 граней
   • 8 вершин
   • 12 рёбер
2. При отрезании угла куба:
   • Грани: Отрезанный угол представляет собой треугольную пирамиду. При отрезании угла одна грань куба (например, верхняя) заменяется новой гранью (треугольником), а три смежные грани, сходящиеся в отрезанной вершине, остаются, но их форма меняется (они становятся пятиугольниками, если отрезать угол ровно). Таким образом, вместо одной вершины появляется новая грань (треугольник), а три грани, которые сходились в этой вершине, теперь имеют новую форму. Итого: 6 - 1 (уменьшение части граней) + 1 (новая грань) + 3 (изменение формы граней) = 9 граней. Однако, при ровном отрезании угла, 3 грани, сходящиеся в вершине, становятся пятиугольными, а одна грань, которая была плоской, становится треугольной. Таким образом, 6 граней куба + 1 новая грань (треугольник) = 7 граней.
   • Вершины: В месте отрезания одной вершины куба (состоящей из трёх рёбер, сходящихся в ней) появляются три новые вершины (на концах трёх отрезков, отходящих от исходной вершины). Итого: 8 (вершин куба) - 1 (отрезанная вершина) + 3 (новые вершины) = 10 вершин.
   • Рёбра: При отрезании угла появляются 3 новых ребра, соединяющих новые вершины. Итого: 12 (рёбер куба) + 3 (новых ребра) = 15 рёбер.

   В данном рисунке не видно:

   • Грани: На рисунке видны 3 грани (две пятиугольные и одна треугольная, если отрезать угол ровно). Остальные 3 грани (пятиугольные) не видны.
   • Вершины: На рисунке видны 3 вершины, лежащие на видимых гранях. Вершины, которые были частью отрезанного угла, видны (3 вершины). Вершины, которые были на невидимых гранях, не видны. Видимы 3 вершины на переднем плане, и 3 вершины на заднем плане (общие для видимых и невидимых граней). Итого видно 6 вершин.

   Ответ:

   • У получившегося многогранника 7 граней, 10 вершин и 15 рёбер.
   • На рисунке не видно 3 граней и 4 вершин.