Задание 3*. На детском утреннике было 25 детей. Маша за творческий номер потанцевала с шестью мальчиками, Даша — с семью, Вика — с восемью и т.д. до Алисы, которая танцевала со всеми мальчиками. Сколько мальчиков было на утреннике?

Решение Задания 3*:

1. Пусть \(n\) — количество мальчиков на утреннике.
2. Пусть \(k\) — количество девочек, которые танцевали творческие номера.
3. Числа мальчиков, с которыми танцевали Маша, Даша, Вика и т.д., образуют арифметическую прогрессию: 6, 7, 8, ...
4. Последняя танцевавшая девочка, Алиса, танцевала со всеми мальчиками, то есть с \(n\) мальчиками.
5. Если предположить, что число девочек, танцевавших номера, равно количеству мальчиков, то количество девочек равно \(n\).
6. Таким образом, танцевать начали девочки, которые танцевали с 6, 7, 8, ..., \(n\) мальчиками.
7. Сумма мальчиков, с которыми танцевали все девочки (кроме одной, которая танцевала со всеми), равна сумме членов арифметической прогрессии.
8. Если предположить, что девочек ровно столько, сколько мальчиков, то Алиса танцевала с последним мальчиком, которого не танцевала ни одна другая девочка.
9. Проще решить методом подбора или логикой: Если бы мальчиков было 10, то девочки могли бы танцевать с 6, 7, 8, 9, 10 мальчиками. Это 5 девочек. 10 детей (мальчики) + 5 девочек = 15 детей. Не 25.
10. Если бы мальчиков было 15, то девочки могли бы танцевать с 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 мальчиками. Это 10 девочек. 15 мальчиков + 10 девочек = 25 детей.
11. Таким образом, на утреннике было 15 мальчиков.

Ответ: На утреннике было 15 мальчиков.