Задание 3. Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам. 1. Складываются отдельно первая и вторая цифры, а также вторая и третья цифры. 2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке невозрастания без разделителей. Пример. Исходное число: 179. Суммы: 1 + 7 = 8; 7+9= 16. Результат: 168. Укажите наименьшее число, при обработке которого автомат выдает результат 156.

Решение:

Пусть трёхзначное число имеет вид \( ABC \), где A — первая цифра, B — вторая, C — третья. По правилам автомата, вычисляются две суммы: \( S_1 = A + B \) и \( S_2 = B + C \). Затем эти суммы записываются в порядке невозрастания. Результат — 156.

Возможны два случая записи результата:

1. \( S_1 \) и \( S_2 \) образуют число 156, причем \( S_1 ≥ S_2 \).
2. \( S_2 \) и \( S_1 \) образуют число 156, причем \( S_2 > S_1 \).

Случай 1: \[ A + B = 15 \] и \[ B + C = 6 \]

Чтобы получить наименьшее число ABC, нужно минимизировать A, затем B, затем C.

Наименьшее возможное значение B (цифра от 0 до 9):

• Если B = 6, то A = 15 - 6 = 9, C = 6 - 6 = 0. Число: 960. Проверка: 9+6=15, 6+0=6. Результат 156.
• Если B = 5, то A = 15 - 5 = 10 (невозможно, A — цифра).
• Если B = 7, то A = 15 - 7 = 8, C = 6 - 7 = -1 (невозможно, C — цифра).

Пробуем далее:

• Если B = 7, то A = 15 - 7 = 8, C = 6 - 7 = -1 (невозможно)
• Если B = 8, то A = 15 - 8 = 7, C = 6 - 8 = -2 (невозможно)
• Если B = 9, то A = 15 - 9 = 6, C = 6 - 9 = -3 (невозможно)

Наименьшее значение A, такое что A+B=15, это A=6 (при B=9). Но при B=9, C=6-9=-3, что невозможно.

Наименьшее значение A, такое что A+B=15, это A=7 (при B=8). Но при B=8, C=6-8=-2, что невозможно.

Наименьшее значение A, такое что A+B=15, это A=8 (при B=7). Но при B=7, C=6-7=-1, что невозможно.

Наименьшее значение A, такое что A+B=15, это A=9 (при B=6). И C = 6 - 6 = 0. Число 960. Проверка: 9+6=15, 6+0=6. Результат 156. Это подходит.

Случай 2: \[ A + B = 5 \] и \[ B + C = 16 \]

Чтобы получить наименьшее число ABC, нужно минимизировать A, затем B, затем C.

Наибольшее значение B (цифра от 0 до 9):

• Если B = 9, то C = 16 - 9 = 7. A = 5 - 9 = -4 (невозможно, A — цифра от 1 до 9).
• Если B = 8, то C = 16 - 8 = 8. A = 5 - 8 = -3 (невозможно).
• Если B = 7, то C = 16 - 7 = 9. A = 5 - 7 = -2 (невозможно).
• Если B = 6, то C = 16 - 6 = 10 (невозможно, C — цифра).
• Если B = 5, то C = 16 - 5 = 11 (невозможно).
• Если B = 4, то C = 16 - 4 = 12 (невозможно).
• Если B = 3, то C = 16 - 3 = 13 (невозможно).
• Если B = 2, то C = 16 - 2 = 14 (невозможно).
• Если B = 1, то C = 16 - 1 = 15 (невозможно).
• Если B = 0, то C = 16 - 0 = 16 (невозможно).

Из этого случая нет подходящих чисел.

Случай 3: \[ A + B = 16 \] и \[ B + C = 5 \]

Чтобы получить наименьшее число ABC, нужно минимизировать A, затем B, затем C.

Наименьшее значение A (цифра от 1 до 9) для A+B=16:

• Если A = 7, то B = 16 - 7 = 9. C = 5 - 9 = -4 (невозможно).
• Если A = 8, то B = 16 - 8 = 8. C = 5 - 8 = -3 (невозможно).
• Если A = 9, то B = 16 - 9 = 7. C = 5 - 7 = -2 (невозможно).

Из этого случая нет подходящих чисел.

Случай 4: \[ A + B = 6 \] и \[ B + C = 15 \]

Чтобы получить наименьшее число ABC, нужно минимизировать A, затем B, затем C.

Наименьшее значение A (цифра от 1 до 9) для A+B=6:

• Если A = 1, то B = 6 - 1 = 5. C = 15 - 5 = 10 (невозможно).
• Если A = 2, то B = 6 - 2 = 4. C = 15 - 4 = 11 (невозможно).
• Если A = 3, то B = 6 - 3 = 3. C = 15 - 3 = 12 (невозможно).
• Если A = 4, то B = 6 - 4 = 2. C = 15 - 2 = 13 (невозможно).
• Если A = 5, то B = 6 - 5 = 1. C = 15 - 1 = 14 (невозможно).
• Если A = 6, то B = 6 - 6 = 0. C = 15 - 0 = 15 (невозможно).

Из этого случая нет подходящих чисел.

Единственный найденный вариант - 960.

Ответ: 960