Задание 2. В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 48°, ∠BDC = 81°, ∠CDA = 90°, DA = 40 см, BD = 36 см, DC = 42 см. Найдите: а) ребра основания ABC; б) площади всех боковых граней.

Используем теорему косинусов для треугольников, имеющих общую вершину D.

а) Рёбра основания ABC

1. В треугольнике ADB:
   \(AB^2=AD^2+BD^2-2\cdot AD\cdot BD\cdot\cos\angle ADB\).
   \(AB^2=40^2+36^2-2\cdot40\cdot36\cos48^\circ\approx968.904\).
   \(AB\approx31.13\) см.
2. В треугольнике BDC:
   \(BC^2=BD^2+DC^2-2\cdot BD\cdot DC\cdot\cos\angle BDC\).
   \(BC^2=36^2+42^2-2\cdot36\cdot42\cos81^\circ\approx2586.942\).
   \(BC\approx50.86\) см.
3. В треугольнике CDA угол \(CDA=90^\circ\), поэтому по теореме Пифагора:
   \(AC^2=AD^2+DC^2=40^2+42^2=3364\).
   \(AC=58\) см.

б) Площади боковых граней

1. Площадь грани ADB:
   \(S_{ADB}=\frac12\cdot AD\cdot BD\cdot\sin48^\circ\).
   \(S_{ADB}=\frac12\cdot40\cdot36\cdot\sin48^\circ\approx535.06\) см².
2. Площадь грани BDC:
   \(S_{BDC}=\frac12\cdot BD\cdot DC\cdot\sin81^\circ\).
   \(S_{BDC}=\frac12\cdot36\cdot42\cdot\sin81^\circ\approx746.69\) см².
3. Площадь грани CDA:
   \(S_{CDA}=\frac12\cdot AD\cdot DC\cdot\sin90^\circ\).
   \(S_{CDA}=\frac12\cdot40\cdot42=840\) см².

Ответ: а) \(AB\approx31.13\) см, \(BC\approx50.86\) см, \(AC=58\) см; б) \(S_{ADB}\approx535.06\) см², \(S_{BDC}\approx746.69\) см², \(S_{CDA}=840\) см².