Задание 2. В тетраэдре ABCD точки K, L и M являются серединами рёбер AD, BD и BC. а) Докажите, что плоскость KLM проходит через середину N ребра AC; б) Докажите, что KLMN — параллелограмм.

Обозначим через \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) радиус-векторы точек \(A,B,C,D\). Так как точки являются серединами соответствующих рёбер, то

\[\vec k=\frac{\vec a+\vec d}{2},\qquad \vec l=\frac{\vec b+\vec d}{2},\qquad \vec m=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \vec n=\frac{\vec a+\vec c}{2}.\]

а) Выразим вектор точки \(N\) через векторы точек \(K,L,M\):

\[\vec k+\vec m-\vec l=\frac{\vec a+\vec d}{2}+\frac{\vec b+\vec c}{2}-\frac{\vec b+\vec d}{2}=\frac{\vec a+\vec c}{2}=\vec n.\]

Следовательно, \(\vec n=\vec k+\vec m-\vec l\). Поэтому точка \(N\) выражается через точки плоскости \(KLM\) и принадлежит этой плоскости.

б) Найдём векторы противоположных сторон:

\[\overrightarrow{KL}=\vec l-\vec k=\frac{\vec b-\vec a}{2},\]

\[\overrightarrow{NM}=\vec m-\vec n=\frac{\vec b-\vec a}{2}.\]

Значит, \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}\), поэтому стороны \(KL\) и \(MN\) параллельны и равны.

Далее:

\[\overrightarrow{LM}=\vec m-\vec l=\frac{\vec c-\vec d}{2},\]

\[\overrightarrow{KN}=\vec n-\vec k=\frac{\vec c-\vec d}{2}.\]

Следовательно, \(\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{KN}\), поэтому стороны \(LM\) и \(KN\) параллельны и равны.

Таким образом, в четырёхугольнике \(KLMN\) противоположные стороны попарно параллельны и равны. Следовательно, \(KLMN\) — параллелограмм.

Ответ: а) точка \(N\) лежит в плоскости \(KLM\); б) \(KLMN\) — параллелограмм.